Сжатых отображений принцип

Большая Советская Энциклопедия. Статьи для написания рефератов, курсовых работ, научные статьи, биографии, очерки, аннотации, описания.


А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я 1 2 3 4 8 A L M P S T X
СI СА СБ СВ СГ СД СЕ СЁ СЖ СИ СК СЛ СМ СН СО СП СР СС СТ СУ СФ СХ СЦ СЧ СШ СЪ СЫ СЬ СЭ СЮ СЯ
СЖА
СЖИ

Сжатых отображений принцип, одно из основных положений теории метрических пространств о существовании и единственности неподвижной точки множества при некотором специальном («сжимающем») отображении его в себя. Сжатых отображений принцип применяют главным образом в теории дифференциальных и интегральных уравнений.

  Произвольное отображение А метрического пространства М в себя, которое каждой точке х из М сопоставляет некоторую точку у = Ax из М, порождает в пространстве М уравнение

  Ax = х. (*)

  Действие отображения А на точку х можно интерпретировать как перемещение её в точку у = Ax. Точка х называется неподвижной точкой отображения А, если выполняется равенство (*). Т. о. вопрос о разрешимости уравнения (*) является вопросом о нахождении неподвижных точек отображения А.

Отображение А метрического пространства М в себя называется сжатым, если существует такое положительное число a < 1, что для любых точек х и у из М выполняется неравенство

  d (Ax, Ау) £ad (х, у),

где символ d (u, u) означает расстояние между точками u и u метрического пространства М.

Сжатых отображений принцип утверждает, что каждое сжатое отображение полного метрического пространства в себя имеет, и притом только одну, неподвижную точку. Кроме того, для любой начальной точки x0 из М последовательность {xn}, определяемая рекуррентными соотношениями

  xn = Axn-1, n = 1,2,...,

  имеет своим пределом неподвижную точку х отображения А. При этом справедлива следующая оценка погрешности:

  .

  Сжатых отображений принцип позволяет единым методом доказывать важные теоремы о существовании и единственности решений дифференциальных, интегральных и др. уравнений. В условиях применимости Сжатых отображений принцип решение может быть с наперёд заданной точностью вычислено последовательных приближений методом.

С помощью определённого выбора полного метрического пространства М и построения отображения А эти задачи сводят предварительно к уравнению (*), а затем находят условия, при которых отображение А оказывается сжатым.

 

  Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 5, М., 1959.

  Ш. А. Алимов.

 

 

Так же Вы можете узнать о...


Баварское наследство, война за, велась в 1778—79 между Австрией, с одной стороны, Пруссией и Саксонией — с другой.
Ватт-час, внесистемная единица энергии или работы; равна работе, совершаемой за время 1 ч при мощности 1 вт.
Гифомицеты (Hyphomycetales, Moniliales), порядок несовершенных грибов, включающий более 650 родов (свыше 10 тыс.
Душ (франц. douche, от итал. doccia — водосточная труба), водные процедуры, при которых на тело воздействуют водой (или паром) в виде плотной струи или многих дождевых струй.
Каменный уголь, твёрдое горючее полезное ископаемое растительного происхождения; разновидность углей ископаемых с более высоким содержанием углерода и большей плотностью, чем у бурого угля.
Коши задача, одна из основных задач теории дифференциальных уравнений, впервые систематически изучавшаяся О.
Макдиси, аль-, арабский географ и путешественник 10 века; см.
Наро-Фоминск, город областного подчинения, центр ого района Московской области РСФСР.
Патернализм в области трудовых отношений (от лат.
«Рабочая газета» (газета) «Рабочая газета»,
Сидзуока (город в Японии) Сидзуока, город в Японии, в центральной части о.
Театры детские, самодеятельные детские театральные коллективы, одна из форм детского творчества.
Флорин (монета) Флорин,
Широкорядный посев, рядовой посев с.-х. растений с междурядьями более 25 см.
Альбинизм (от лат. albus — белый), отсутствие нормальной пигментации: у животных и людей — кожи, волос, радужной оболочки глаза, у растений — зелёной окраски всего растения или отдельных частей (пестролистность).