Сферическая тригонометрия, математическая дисциплина, изучающая зависимости между углами и сторонами сферических треугольников (см. Сферическая геометрия). Пусть А, В, С — углы и а, b, с — противолежащие им стороны сферического треугольника ABC (см. рис.). Углы и стороны сферического треугольника связаны следующими основными формулами Сферическая тригонометрия:                                   (1) cos а = cos b cos с  + sin b sin с cos А,                (2) cos A = - cos B cos С + sin B sin С cos a,            (2₁) sin a cos B = cos b sin c - sin b cos с cos А,         (3) sin А cos b = cos B sin C + sin B cos С cos a;      (3₁)

Рис. к ст. Сферическая тригонометрия.

в этих формулах стороны а, b, с измеряются соответствующими центральными углами, длины этих сторон равны соответственно aR, bR, cR, где R — радиус сферы. Меняя обозначения углов (и сторон) по правилу круговой перестановки: А ® В ® С ® А  (а ® b ® с ® а), можно написать другие формулы Сферическая тригонометрия, аналогичные указанным. Формулы Сферическая тригонометрия позволяют по любым трём элементам сферического треугольника определить три остальные (решить треугольник).

  Для прямоугольных сферических треугольников (А = 90°, а — гипотенуза, b, с — катеты) формулы Сферическая тригонометрия упрощаются, например: sin b = sin a sin В,                  (1') cos a = cos b cos c,                (2') sin a cos B = cos b sin c.        (3')

  Для получения формул, связывающих элементы прямоугольного сферического треугольника, можно пользоваться следующим мнемоническим правилом (правилом Непера): если заменить катеты прямоугольного сферического треугольника их дополнениями и расположить элементы треугольника (исключая прямой угол А) по кругу в том порядке, в каком они находятся в треугольнике (то есть следующим образом: В, а, С, 90° b, 90° с), то косинус каждого элемента равен произведению синусов неприлежащих элементов, например, cos а = sin (90° с) sin (90° - b)

или, после преобразования, cos а = cos b cos с (формула 2').

  При решении задач удобны следующие формулы Деламбра, связывающие все шесть элементов сферического треугольника: , , , .

  При решении многих задач сферической астрономии, в зависимости от требуемой точности, часто оказывается достаточным использование приближённых формул: для малых сферических треугольников (то есть таких, стороны которых малы по сравнению с радиусом сферы) можно пользоваться формулами плоской тригонометрии; для узких сферических треугольников (то есть таких, у которых одна сторона, например а, мала по сравнению с другими) применяют следующие формулы:                                          (1’’)                                    (3’’)

или более точные формулы:        (1’’’)            (3’’’)

  Сферическая тригонометрия возникла значительно раньше плоской тригонометрии. Свойства прямоугольных сферических треугольников, выражаемые формулами (1')—(3'), и различные случаи их решения были известны ещё греческим учёным Менелаю (1 в.) и Птолемею (2 в.). Решение косоугольных сферических треугольников греческие учёные сводили к решению прямоугольных. Азербайджанский учёный Насирэддин Туей (13 в.) систематически рассмотрел все случаи решения косоугольных сферических треугольников, впервые указав решение в двух труднейших случаях. Основные формулы косоугольных сферических треугольников были найдены арабским учёным Абу-ль-Вефа (10 в.) [формула (1)], немецким математиком И. Региомонтаном (середина 15 в.) [формулы типа (2)], французским математиком Ф. Виетом (2-я половина 16 в.) [формулы типа (2₁)] и Л. Эйлером (Россия, 18 в.) [формулы типа (3) и (3₁)]. Эйлер (1753 и 1779) дал всю систему формул Сферическая тригонометрия Отдельные удобные для практики формулы Сферическая тригонометрия были установлены шотландским математиком Дж. Непером (конец 16 — начало 17 вв.), английским математиком Г. Бригсом (конец 16 — начало 17 вв.), русским астрономом А. И. Лекселем (2-я половина 18 в.), французским астрономом Ж. Деламбром (конец 18 — начало 19 вв.) и др.

 

  Лит. см. при ст. Сферическая геометрия.