Сферическая геометрия

Большая Советская Энциклопедия. Статьи для написания рефератов, курсовых работ, научные статьи, биографии, очерки, аннотации, описания.


А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я 1 2 3 4 8 A L M P S T X
СI СА СБ СВ СГ СД СЕ СЁ СЖ СИ СК СЛ СМ СН СО СП СР СС СТ СУ СФ СХ СЦ СЧ СШ СЪ СЫ СЬ СЭ СЮ СЯ
СФА
СФЕ
СФИ
СФО
СФР
СФУ

Сферическая геометрия, математическая дисциплина, изучающая геометрические образы, находящиеся на сфере, подобно тому как планиметрия изучает геометрические образы, находящиеся на плоскости.

Рис. к ст. Сферическая геометрия. Сферическая геометрия.

Рис. к ст. Сферическая геометрия.

  Всякая плоскость, пересекающая сферу, даёт в сечении некоторую окружность; если секущая плоскость проходит через центр О сферы, то в сечении получается так называемый большой круг. Через каждые две точки А и В на сфере (рис., 1), кроме случая диаметрально противоположных точек, можно провести единственный большой круг. Большие круги сферы являются её геодезическими линиями и поэтому в Сферическая геометрия играют роль, аналогичную роли прямых в планиметрии. Однако в то время как любой отрезок прямой является кратчайшим между его концами, дуга большого круга на сфере будет кратчайшей лишь в случае, когда она короче дополнительной дуги. Во многих других отношениях Сферическая геометрия также отлична от планиметрии; так, например, в Сферическая геометрия не существует параллельных геодезических: два больших круга всегда пересекаются, и притом в двух точках.

  Длину отрезка АВ на сфере, то есть дугу AmB (рис., 1) большого круга, измеряют соответствующим пропорциональным ей центральным углом AOB. Угол ABC (рис., 2), образованный на сфере дугами двух больших кругов, измеряют углом A' BC' между касательными к соответствующим дугам в точке пересечения В или двугранным углом, образованным плоскостями OBA и OBC.

При пересечении двух больших кругов на сфере образуется четыре сферических двуугольника (рис., 3). Сферический двуугольник определяется заданием своего угла. Площадь сферического двуугольника определяется по формуле: S= 2R2A, где R — радиус сферы, А — угол двуугольника, выраженный в радианах.

  Три больших круга, не пересекающихся в одной паре диаметрально противоположных точек, образуют на сфере восемь сферических треугольников (рис., 4); зная элементы (углы и стороны) одного из них, легко определить элементы всех остальных. Поэтому обычно рассматривают соотношения между элементами лишь одного треугольника, притом того, все стороны которого меньше половины большого круга (такие треугольники называют эйлеровыми). Стороны a, b, с сферического треугольника измеряются плоскими углами трёхгранного угла OABC (рис., 5), углы А, В, С треугольника — двугранными углами того же трёхгранного угла. Свойства сферических треугольников во многом отличаются от свойств треугольников на плоскости (прямолинейных треугольников). Так, к известным трём случаям равенства прямолинейных треугольников для треугольников на сфере добавляется ещё четвёртый: два треугольника равны, если равны их соответствующие углы (на сфере не существует подобных треугольников).

  Равными треугольниками считаются те, которые могут быть совмещены после передвижения по сфере. Отсюда следует, что равные сферические треугольники имеют равные элементы и одинаковую ориентацию. Треугольники, имеющие равные элементы и различную ориентацию, называются симметричными; таковы, например, треугольники AC' С и BCC' на рис., 6.

Во всяком сферическом треугольнике (эйлеровом) каждая сторона меньше суммы и больше разности двух других; сумма всех сторон всегда меньше 2p. Сумма углов сферического треугольника всегда меньше 3p и больше p. Разность s – p = e, где s — сумма углов сферического треугольника, называется сферическим избытком. Площадь сферического треугольника определяется по формуле: S = R2e, где R — радиус сферы. О соотношении между углами и сторонами сферического треугольника см. Сферическая тригонометрия.

Положение каждой точки на сфере вполне определяется заданием двух чисел: эти числа (координаты) можно определить, например, следующим образом. Фиксируются (рис., 7) некоторый большой круг QQ’ (экватор), одна из двух точек пересечения диаметра PP' сферы, перпендикулярного к плоскости экватора, с поверхностью сферы, например Р (полюс), и один из больших полукругов PAP', выходящих из полюса (нулевой меридиан). Большие полукруги сферы, выходящие из Р, называются меридианами, малые её круги, параллельные экватору,— параллелями. В качестве одной из координат точки М на сфере принимается угол q = РОМ (полярное расстояние, в качестве второй — угол j = AON между нулевым меридианом и меридианом, проходящим через точку М (долгота, отсчитываемая против часовой стрелки).

  Введение координат на сфере позволяет проводить исследование сферических фигур аналитическими методами геометрии. Так, два уравнения

  q = f (t), j = g (t)

или одно уравнение

  F (q, j) = 0

между координатами q и j определяют некоторую линию на сфере. Длина L дуги M1M2 этой линии вычисляется по формуле

 

где t1 и t2значения параметра t, соответствующие концам M1и M2 дуги M1M2 (рис., 8).

 

  Лит.: Степанов Н. Н., Сферическая тригонометрия, 2 изд., Л.— М., 1948; Энциклопедия элементарной математики, кн. 4, Геометрия, М., 1963.

Так же Вы можете узнать о...


Китаеведения институт, научно-исследовательское учреждение в системе АН СССР по изучению истории, экономики, литературы и языков Китая, существовавшее в 1956—60 в г.
Льгов, город в Курской области РСФСР. Расположен по обоим берегам реки Сейм (приток Десны), в 80 км к западу от города Курска.
Новодружеск, город (с 1963) в Ворошиловградской области УССР, подчинён Лисичанскому горсовету.
Прессование (от лат. presso — давлю, жму), процесс обработки давлением разных материалов с целью уплотнения, изменения формы, отделения жидкой фазы от твёрдой, изменения механических и др.
Скиммия (Skimmia), род растений семейства рутовых.
Тяговая мощность, мощность, развиваемая транспортной машиной на буксирном устройстве: произведение тягового усилия на среднюю скорость движения транспортной машины.
Шемякин Евгений Иванович (р. 9.12. 1929, Новосибирск), советский учёный в области механики горных пород, член-корреспондент АН СССР (1976).
Архитрав (от архи... и лат. trabs — балка), нижняя из 3 горизонтальных частей антаблемента, имеющая значение основного конструктивного элемента и обычно лежащая на капителях колонн.
Висакхапатнам, Визагапатам, город в Индии; см.
Джафна (полуостров на Цейлоне) Джафна, полуостров на С. Цейлона. Омывается Бенгальским и Манарским заливом Индийского океана и Полкским проливом.
Капская колония (голл. Kaapkolonie, от Kaap de Goede Hoop — мыс Доброй Надежды), голландское, а затем английское владение в Южной Африке.
Леви-Чивита Туллио Леви-Чивита (Levi-Civita) Туллио (29.3.1873, Падуя, — 29.
Мюленбергия (Muhlenbergia), род растений семейства злаков.
Плейохазий (от греч. Pleiōn — более многочисленный, больший и chasis — разделение), многолучевой верхоцветник, один из типов цимозного соцветия у покрытосеменных растений.
Свердлин Лев Наумович [3(16).11.1901, Астрахань, — 29.
Тимаков Владимир Дмитриевич [р. 26.6(9.7).1905, с.
Циатий, бокальчик, букетик (Cyathium), тип соцветия у растений семейства молочайных.
Алтынту, горный хребет Алтая к З. от Телецкого озера в Горно-Алтайской АО Алтайского края РСФСР.
Бюлер Карл Бюлер (Bühler) Карл (27.5.1879, Меккесхейм, Баден, — 24.