Выпуклая область на плоскости, часть плоскости, обладающая тем свойством, что соединяющий две её любые точки отрезок содержится в ней целиком (рис.). Любая связная часть границы (см. Связное множество) Выпуклая область называется выпуклой кривой. Примерами таких кривых являются окружность, эллипс, парабола, треугольник, любая дуга окружности, прямая линия, отрезок прямой. Через каждую точку границы Выпуклая область на плоскости проходит по крайней мере одна опорная прямая, имеющая общую точку (или отрезок) с границей области, но не рассекающая последней (на рис. Р, Q,R, S — опорные прямые). Выпуклая область на плоскости могут быть четырёх типов: конечные (граница — замкнутая выпуклая кривая), бесконечные (граница — одна бесконечная кривая; например Выпуклая область, ограниченная параболой), бесконечная полоса (граница — пара параллельных прямых), вся плоскость. Выпуклая область может быть задана посредством опорной функции, выражающей расстояние от начала координат до опорной прямой как функцию от внешней нормали к Выпуклая область (т. е. единичного вектора, перпендикулярного опорной прямой и направленного в сторону той из двух полуплоскостей, определяемых этой прямой, в которой нет точек Выпуклая область). Выпуклая область на плоскости представляет собой частный (двумерный) случай n-мepных Выпуклая область, которые исследуются в геометрии выпуклых тел.

Рисунок к ст. Выпуклая область.

  Э. Г. Позняк.