Лапласа преобразование, преобразование, переводящее функцию f (t) действительного переменного t (0 < t < ¥), называемую «оригиналом», в функцию

   (1)

  комплексного переменного р =s +it. Под Лапласа преобразование понимают также не только само преобразование, но и его результат — функцию F (p). Интеграл в правой части формулы (1) называется интегралом Лапласа. Он был рассмотрен П. Лапласом в ряде работ, которые объединены в его книге «Аналитическая теория вероятностей», вышедшей в 1812. Значительно раньше (в 1737) такие интегралы применял к решению дифференциальных уравнений Л. Эйлер.

При некоторых условиях, указанных ниже, Лапласа преобразование определяет функцию f (t) однозначно, в простейших случаях — по формуле обращения:

   (2)

  Лапласа преобразование является линейным функциональным преобразованием. Из числа основных формул Лапласа преобразование можно отметить следующие:

  ,

  , n = 1, 2, …,

  , t >0.

  Лапласа преобразование в сочетании с формулой (2) его обращения применяется к интегрированию дифференциальных уравнений. В частности, в силу свойства (1) и линейности, Лапласа преобразование решения обыкновенного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами удовлетворяет алгебраическому уравнению 1-й степени и может быть, следовательно, легко найдено. Так, если, например, у’’ + у = f (t), y (0) = y’ (0) = 0

  и Y (p) = L [y], F (p) = L [f],

  то L [y’’] = p²Y (p)

  и p²Y (p) + Y (p) = F (p),

  откуда

 

  Многочисленные задачи электротехники, гидродинамики, механики, теплопроводности эффективно решаются методами, использующими Лапласа преобразование

  Лапласа преобразование нашло особенно широкое применение в обосновании операционного исчисления, в котором обычно вместо Лапласа преобразование F (p) вводится «изображение» оригинала f (t) — функция pF (p).

Современная общая теория Лапласа преобразование строится на основе интегрирования в смысле Лебега (см. Интеграл). Для применимости Лапласа преобразование к функции f (t) необходимо, чтобы f (t) была интегрируема в смысле Лебега на любом конечном интервале (0, t), t > 0 и интеграл (1) для неё сходился хотя бы в одной точке p₀= s₀ + it₀. Если интеграл (1) сходится в точке р₀, то он сходится во всех точках р, для которых Re (р—р₀) > 0. Т. о., если интеграл (1) сходится хотя бы в одной точке плоскости p₀, то либо он сходится во всей плоскости, либо существует такое число s_с, что при Re p > s_c интеграл (1) сходится, а при Re р < s_с расходится. Число s_с называется абсциссой сходимости интеграла Лапласа. F (p) —аналитическая функция в полуплоскости Re р > s_с.

 

  Лит.: Диткин В. А. и Кузнецов П. И., Справочник по операционному исчислению. Основы теории и таблицы формул, М. — Л., 1951; Диткин В. А. и Прудников А. П., Интегральные преобразования и операционное исчисление, М., 1961; Дёч Г., Руководство к практическому применению преобразования Лапласа, пер. с нем., М., 1965.