Л. Эйлер.

Эйлер (Euler) Леонард [4(15).4.1707, Базель, Швейцария, — 7(18).9.1783, Петербург], математик, механик и физик. Род. в семье небогатого пастора Пауля Эйлера. Образование получил сначала у отца (который в молодости занимался математикой под рук. Я. Бернулли), а в 1720—24 в Базельском университете, где слушал лекции по математике И. Бернулли.

В кон. 1726 Эйлер Леонард был приглашен в Петербургскую АН и в мае 1727 приехал в Петербург. В только что организованной академии Эйлер Леонард нашёл благоприятные условия для научной деятельности, что позволило ему сразу же приступить к занятиям математикой и механикой. За 14 лет первого петербургского периода жизни Эйлер Леонард подготовил к печати около 80 трудов и опубликовал свыше 50. В Петербурге он изучил русский язык.

  Эйлер Леонард участвовал во многих направлениях деятельности Петербургской АН. Он читал лекции студентам академического университета, участвовал в различных технических экспертизах, работал над составлением карт России, написал общедоступное «Руководство к арифметике» (нем. изд. 1738—40, рус. пер. ч. 1—2, 1740). По специальному поручению академии Эйлер Леонард подготовил к печати «Морскую науку» (ч. 1—2, 1749)— фундаментальный труд по теории кораблестроения и кораблевождения.

  В 1741 Эйлер Леонард принял предложение прусского короля Фридриха II переехать в Берлин, где предстояла реорганизация АН. В Берлинской АН Эйлер Леонард занял пост директора класса математики и член правления, а после смерти её первого президента П. Л. Мопертюи несколько лет (с 1759) фактически руководил академией. За 25 лет жизни в Берлине он подготовил около 300 работ, среди них ряд больших монографий.

  Живя в Берлине, Эйлер Леонард не переставал интенсивно работать для Петербургской АН, сохраняя звание её почётного члена. Он вёл обширную научную и научно-организационную переписку, в частности переписывался с М. В. Ломоносовым, которого высоко ценил. Эйлер Леонард редактировал математический отдел русского академического научного органа, где опубликовал за это время почти столько же статей, сколько в «Мемуарах» Берлинской АН. Он деятельно участвовал в подготовке русских математиков; в Берлин командировались для занятий под его руководством будущие академики С. К. Котельников, С. Я. Румовский и М. Софронов. Большую помощь Эйлер Леонард оказывал Петербургской АН, приобретая для неё научную литературу и оборудование, ведя переговоры с кандидатами на должности в академии и т.д.

  17(28) июля 1766 Эйлер Леонард вместе с семьей вернулся в Петербург. Несмотря на преклонный возраст и постигшую его почти полную слепоту, он до конца жизни продуктивно работал. За 17 лет вторичного пребывания в Петербурге им было подготовлено около 400 работ, среди них несколько больших книг. Эйлер Леонард продолжал участвовать и в организационной работе академии. В 1776 он был одним из экспертов проекта одноарочного моста через Неву, предложенного И. П. Кулибиным, и из всей комиссии один оказал широкую поддержку проекту.

  Заслуги Эйлер Леонард как крупнейшего учёного и организатора научных исследований получили высокую оценку ещё при его жизни. Помимо Петербургской и Берлинской академий, он состоял членом крупнейших научных учреждений: Парижской АН, Лондонского королевского общества и других.

  Одна из отличительных сторон творчества Эйлер Леонард — его исключительная продуктивность. Только при жизни Эйлер Леонард было опубликовано около 550 его книг и статей (список трудов Эйлер Леонард содержит примерно 850 назв.). В 1909 Швейцарское естественнонаучное общество приступило к изданию полного собрания сочинений Эйлер Леонард, которое завершено в 1975; оно состоит из 72 томов. Большой интерес представляет и колоссальная научная переписка Эйлер Леонард (около 3000 писем), до сих пор опубликована лишь частично.

  Необыкновенно широк был круг занятий Эйлер Леонард, охватывавших все отделы современной ему математики и механики, теорию упругости, математическую физику, оптику, теорию музыки, теорию машин, баллистику, морскую науку, страховое дело и т.д. Около ³/₅ работ Эйлер Леонард относится к математике, остальные ²/₅ преимущественно к её приложениям. Свои результаты и результаты, полученные другими, Эйлер Леонард систематизировал в ряде классических монографий, написанных с поразительной ясностью и снабженных ценными примерами. Таковы, например, «Механика, или Наука о движении, изложенная аналитически» (т. 1—2, 1736), «Введение в анализ» (т. 1—2, 1748), «Дифференциальное исчисление» (1755), «Теория движения твёрдого тела» (1765), «Универсальная арифметика» (т. 1—2, 1768—69), выдержавшая около 30 изданий на 6 языках, «Интегральное исчисление» (т. 1—3, 1768—70, т. 4, 1794) и др. В 18 в., а отчасти и в 19 в. огромную популярность приобрели общедоступные «Письма о разных физических и филозофических материях, писанные к некоторой немецкой принцессе...» (ч. 1—3, 1768—74), которые выдержали свыше 40 изданий на 10 языках. Большая часть содержания монографий Эйлер Леонард вошла затем в учебные руководства для высшей и частично средней школы. Невозможно перечислить все доныне употребляемые теоремы, методы и формулы Эйлер Леонард, из которых только немногие фигурируют в литературе под его именем [см., например, Эйлера метод ломаных,Эйлера подстановки,Эйлера постоянная,Эйлера уравнение,Эйлера уравнения (в гидромеханике), Эйлера формулы,Эйлера функция,Эйлера числа в математике, Эйлера число,Эйлера —Маклорена формула,Эйлера — Фурье формулы,Эйлерова характеристика,Эйлеровы интегралы,Эйлеровы углы].

В «Механике» Эйлер Леонард впервые изложил динамику точки при помощи математического анализа. В 1-м томе этого сочинения рассмотрено свободное движение точки под действием различных сил как в пустоте, так и в среде, обладающей сопротивлением; во 2-м — движение точки по данной линии или по данной поверхности; большое значение для развития небесной механики имела глава о движении точки под действием центр. сил. В 1744 он впервые корректно сформулировал механический принцип наименьшего действия и показал его первые применения. В «Теории движения твёрдого тела» Эйлер Леонард разработал кинематику и динамику твёрдого тела и дал уравнения его вращения вокруг неподвижной точки, положив начало теории гироскопов. В своей теории корабля Эйлер Леонард внёс ценный вклад в теорию устойчивости. Значительны открытия Эйлер Леонард в небесной механике (например, в теории движения Луны), механике сплошных сред (основные уравнения движения идеальной жидкости в форме Эйлер Леонард и в т. н. переменных Лагранжа, колебания газа в трубах и пр.). В оптике Эйлер Леонард дал (1747) формулу двояковыпуклой линзы, предложил метод расчёта показателя преломления среды. Эйлер Леонард придерживался волновой теории света. Он считал, что различным цветам соответствуют разные длины волн света. Эйлер Леонард предложил способы устранения хроматических аберрации линз и в 3-й части «Диоптрики» дал методы расчёта оптических узлов микроскопа. Обширный цикл работ, начатый в 1748, Эйлер Леонард посвятил математической физике: задачам о колебании струны, пластинки, мембраны и др. Все эти исследования стимулировали развитие теории дифференциальных уравнений, приближённых методов анализа, спец. функций, дифференциальной геометрии и т.д. Многие математические открытия Эйлер Леонард содержатся именно в этих работах.

  Главным делом Эйлер Леонард как математика явилась разработка математического анализа. Он заложил основы нескольких математических дисциплин, которые только в зачаточном виде имелись или вовсе отсутствовали в исчислении бесконечно малых И. Ньютона, Г. В. Лейбница, Я. и И. Бернулли. Так, Эйлер Леонард первый ввёл функции комплексного аргумента («Введение в анализ», т. 1) и исследовал свойства основных элементарных функций комплексного переменного (показательные, логарифмические и тригонометрические функций); в частности, он вывел формулы, связывающие тригонометрические функции с показательной. Работы Эйлер Леонард в этом направлении положили начало теории функций комплексного переменного.

  Эйлер Леонард явился создателем вариационного исчисления, изложенного в работе «Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума, либо минимума...» (1744). После работ Ж. Лагранжа Эйлер Леонард далее развил вариационное исчисление в «Интегральном исчислении» и ряде статей. Метод, с помощью которого Эйлер Леонард в 1744 вывел необходимое условие экстремума функционала — уравнение Эйлера, явился прообразом прямых методов вариационного исчисления 20 в. Эйлер Леонард создал как самостоятельную дисциплину теорию обыкновенных дифференциальных уравнений и заложил основы теории уравнений с частными производными. Здесь ему принадлежит огромное число открытий: классический способ решения линейных уравнений с постоянными коэффициентами, метод вариации произвольных постоянных, выяснение основных свойств уравнения Риккати, интегрирование линейных уравнений с переменными коэффициентами с помощью бесконечных рядов, критерии особых решений, учение об интегрирующем множителе, различные приближённые методы и ряд приёмов решения уравнений с частными производными. Значит. часть этих результатов Эйлер Леонард собрал в своём «Интегральном исчислении».

  Эйлер Леонард обогатил также дифференциальное и интегральное исчисление в узком смысле слова (например, учение о замене переменных, теорема об однородных функциях, понятие двойного интеграла и вычисление многих специальных интегралов). В «Дифференциальном исчислении» Эйлер Леонард высказал и подкрепил примерами убеждение в целесообразности применения расходящихся рядов и предложил методы обобщённого суммирования рядов, предвосхитив идеи современной строгой теории расходящихся рядов, созданной на рубеже 19 и 20 вв. Кроме того, Эйлер Леонард получил в теории рядов множество конкретных результатов. Он открыл т. н. формулу суммирования Эйлера — Маклорена, предложил преобразование рядов, носящее его имя, определил суммы громадного количества рядов и ввёл в математику новые важные типы рядов (например, тригонометрические ряды). Сюда же примыкают исследования Эйлер Леонард по теории непрерывных дробей и других бесконечных процессов.

  Эйлер Леонард является основоположником теории специальных функций. Он первым начал рассматривать синус и косинус как функции, а не как отрезки в круге. Им получены почти все классического разложения элементарных функций в бесконечные ряды и произведения. В его трудах создана теория гамма-функции. Он исследовал свойства эллиптических интегралов, гиперболических и цилиндрических функций, дзета-функции, некоторых тета-функций, интегрального логарифма и важных классов специальных многочленов.

  По замечанию П. Л. Чебышева, Эйлер Леонард положил начало всем изысканиям, составляющим общую часть теории чисел, к которой относится свыше 100 мемуаров Эйлер Леонард Так, Эйлер Леонард доказал ряд утверждений, высказанных П. Ферма (см., например, Ферма малая теорема), разработал основы теории степенных вычетов и теории квадратичных форм, обнаружил (но не доказал) квадратичный закон взаимности (см. Квадратичный вычет) и исследовал ряд задач диофантова анализа. В работах о разбиении чисел на слагаемые и по теории простых чисел Эйлер Леонард впервые использовал методы анализа, явившись тем самым создателем аналитической теории чисел. В частности, он ввёл дзета-функцию и доказал т. н. тождество Эйлер Леонард, связывающее простые числа со всеми натуральными.

  Велики заслуги Эйлер Леонард и в других областях математики. В алгебре ему принадлежат работы о решении в радикалах уравнений высших степеней и об уравнениях с двумя неизвестными, а также т. н. тождество Эйлер Леонард о четырёх квадратах. Эйлер Леонард значительно продвинул аналитическую геометрию, особенно учение о поверхностях 2-го порядка. В дифференциальной геометрии он детально исследовал свойства геодезических линий, впервые применил натуральные уравнения кривых, а главное, заложил основы теории поверхностей. Он ввёл понятие главных направлений в точке поверхности, доказал их ортогональность, вывел формулу для кривизны любого нормального сечения, начал изучение развёртывающихся поверхностей и т.д.; в одной посмертно опубликованной работе (1862) он частично предварил исследования К. Ф. Гаусса по внутренней геометрии поверхностей. Эйлер Леонард занимался и отд. вопросами топологии и доказал, например, важную теорему о выпуклых многогранниках. Эйлер Леонард-математика нередко характеризуют как гениального «вычислителя». Действительно, он был непревзойдённым мастером формальных выкладок и преобразований, в его трудах многие математические формулы и символика получили современный вид (например, ему принадлежат обозначения для е и p). Однако Эйлер Леонард был не только исключительной силы «вычислителем». Он внёс в науку ряд глубоких идей, которые ныне строго обоснованы и служат образцом глубины проникновения в предмет исследования.

  По выражению П. С. Лапласа, Эйлер Леонард явился учителем математиков 2-й половины 18 в. От его работ непосредственно отправлялись в разнообразных исследованиях П. С. Лаплас, Ж. Л. Лагранж, Г. Монж, А. М. Лежандр, К. Ф. Гаусс, позднее О. Коши, М. В. Остроградский, П. Л. Чебышев и др. Русские математики высоко ценили творчество Эйлер Леонард, а деятели чебышевской школы видели в Эйлер Леонард своего идейного предшественника в его постоянном чувстве конкретности, в интересе к конкретным трудным задачам, требующим развития новых методов, в стремлении получать решения задач в форме законченных алгоритмов, позволяющих находить ответ с любой требуемой степенью точности.

 

  Соч.: Opera omnia... Series 1 — Opera mathematica, v. 1—29, Lausannae, 1911—56, Series 2 — Opera mechanica et astronomica, v. 1—30, В.— Lpz., 1912—74, Series 3—Opera physica, Miscellanae epistolae, v. 1—12, Lausannae, 1911—73, Series 4—Commercium epistolicum, v. 1, 1975; в рус. пер.— Универсальная арифметика, т. 1—2, СПБ, 1768— 1769; Полное умозрение строения и вождения кораблей, сочиненное в пользу учащихся навигации..., СПБ, 1778; Введение в анализ бесконечных, т. 1—2, М., 1961; Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума, либо минимума, или решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле, М.—Л., 1934; Основы динамики точки, М.— Л., 1938; Новая теория движения Луны, Л., 1934; Дифференциальное исчисление, М.— Л., 1949; Интегральное исчисление, т. 1—3, М., 1956—1958; Избранные картографические статьи, М., 1959.

 

  Лит.: Erneström G., Verzeichnis der Schriften Leonard Eulers, Lfg 1—2, Lpz., 1910—13 (Jahresbericht der Deutschen Mathematiker—Vereinigung. Ergänzungsband 4, Lfg 1—2) [лит.]; Fuss N., Eloge de monsieur Léonard Euler..., St. Pb., 1783 (лит.); в рус. пер.— Похвальная речь покойному Леонарду Эйлеру..., в кн.: Академические сочинения, выбранные из первого тома Деяний Академии наук, под заглавием: Nova Acta Academiae scientiarum imperialis Petropolitanae, ч. 1, СПБ, 1801; Симонов Н. И., Прикладные методы анализа у Эйлера, М., 1957; Леонард Эйлер. Сб. ст., М., 1958; Рукописные материалы Л. Эйлера в Архиве Академии наук СССР, т. 1, М.—Л., 1962; Юшкевич А. П., История математики в России до 1917 года, М., 1968.

  По материалам одноимённой статьи из 2-го издания БСЭйлер Леонард