Синусоидальные спирали, синус-спирали, кривые, уравнения которых в полярной системе координат имеют вид

  , (*)

  где n — рациональное число. Частными случаями Синусоидальные спирали являются окружность, прямая, равнобочная гипербола, лемниската, кардиоида, парабола (см. Линия)

(соответственно при n = 1, —1, —2, 2, , ). Логарифмическую спираль можно рассматривать как некоторый предельный случай Синусоидальные спирали при n = 0 [хотя уравнение (*) теряет при этом смысл], разделяющей Синусоидальные спирали, лежащие в конечной части плоскости, от Синусоидальные спирали, имеющих бесконечные ветви. Проекция центра кривизны любой точки Синусоидальные спирали на радиус-вектор этой точки делит его в отношении n: 1 (считая от полюса). При равномерном вращении радиус-вектора Синусоидальные спирали вокруг полюса касательная равномерно вращается вокруг точки касания. Поэтому Синусоидальные спирали называются также кривыми пропорционального изгиба. При натуральном n Синусоидальные спирали состоит из n лепестков, лежащих в углах

  ,

касаясь в начале координат сторон угла. Углы

  ,

не содержат точек Синусоидальные спирали, отличных от начала координат. Если вписать в круг радиуса а^.2^-1/n правильный n-угольник P₁, P₂,..., Р_п, то множество точек, произведение расстояний которых до точек P₁, P₂,..., Р_п равно aⁿ/2, является Синусоидальные спирали Площадь одного лепестка Синусоидальные спирали равна

  ,

  а периметр равен

 

где G(х) — гамма-функция. При натуральном n Синусоидальные спирали имеет n осей симметрии. Если n = 1/q, то кривая симметрична относительно полярной оси, причём каждая из половин кривой имеет вид спирали, начинающейся в точке r = а,j = p/2 и после оборота на угол qp/2 приходящей в полюс. Синусоидальные спирали при n = p/q является алгебраической кривой (см. Алгебраическая геометрия), обладающей р осями симметрии, наклоненными к вертикальной оси под углами 2pqk/p, 0 £k < p. Изучение Синусоидальные спирали с отрицательными значениями п сводится к изучению Синусоидальные спирали с положительными п при помощи преобразования инверсии. Синусоидальные спирали применяются в некоторых вопросах механики, геодезии и др.