Гамма-функция [Г-функция, Г (х)], одна из важнейших специальных функций, обобщающая понятие факториала; для целых положительных n равна Г (n) = (n 1)! = 1·2... (n 1). Впервые введена Л. Эйлером в 1729. Гамма-функция для действительных х > 0 определяется равенством  

  другое обозначение:   Г (х + 1) = p(x) = х!

  Основные соотношения для Гамма-функция:   Г (х + 1) = хГ (х) (функциональное уравнение);   Г (х) Г (1 х) = p/sin px (формула дополнения);  

  Частные значения:  

  При больших х справедлива асимптотич. Стирлинга формула  

  Через Гамма-функция выражается большое число определённых интегралов, бесконечных произведений и сумм рядов. Гамма-функция распространяется и на комплексные значения аргумента.

 

  Лит.: Янке Е., Эмде Ф., Таблицы функций с формулами и кривыми, пер. с нем., 3 изд., М., 1959; Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 6 изд., т. 2, М., 1966.