Средние, средние значения, числовая характеристика группы чисел или функций.

1)      Средним для данной группы чисел x₁, x₂,..... x_n называется любое число, заключённое между наименьшим и наибольшим из них. Наиболее употребительными Средние являются: арифметическое среднее 

,

  геометрическое среднее

,

  гармоническое среднее

  ,

  квадратичное среднее

  .

  Если все числа x_i (i = l,2,..., n) положительны, то можно для любого a¹ 0 определить степенное Средние

 

  частными случаями которого являются арифметическое, гармоническое и квадратичное Средние, именно: s ₍а равняется a, h и q соответственно при a = 1, —1 и 2. При a® 0 степенное С, s_a стремится к геометрическому Средние, так что можно считать s₀ = g. Важную роль играет неравенство s_a£s_b, если a£b, в частности

  h £ g £ a £ q.

  Арифметическое и квадратичное Средние находят многочисленные применения в теории вероятностей, математической статистике, при вычислении по методу наименьших квадратов и др. Указанные выше Средние могут быть получены из формулы

  ,

  где f^-1(h) — функция, обратная к f (x) (см. Обратная функция), при соответствующем подборе функции f (x). Так, арифметическое Средние получается, если f(x) = x, геометрическое Средние — если f (x) = log x, гармоническое Средние — если f (x) = 1/x, квадратичное Средние — если f (x) = x².

  Наряду со степенными Средние рассматривают взвешенные степенные Средние

 

  в частности при a = 1,

  ,

  которые переходят в обыкновенные степенные Средние при р₁ = р₂ =... = p_n. Взвешенные Средние особенно важны при математической обработке результатов наблюдений (см. Наблюдений обработка), когда различные наблюдения производятся с разной точностью (с разным весом).

  2) Арифметико-геометрическое среднее. Для пары положительных чисел а и b составляются арифметическое Средние a₁ и геометрическое Средние g₁. Затем для пары a₁, g₁ снова находятся арифметическое Средние a₂ и геометрическое Средние g₂ и т.д. Общий предел последовательностей a_n и g_b, существование которого было доказано К. Гауссом, называется арифметико-геометрическим Средние чисел а и b; он важен в теории эллиптических функций.

  3) Средним значением функции называется любое число, заключённое между наименьшим и наибольшим её значениями. В дифференциальном и интегральном исчислении имеется ряд «теорем о среднем», устанавливающих существование таких точек, в которых функция или её производная получает то или иное среднее значение. Наиболее важной теоремой о Средние в дифференциальном исчислении является теорема Лагранжа (теорема о конечном приращении): если f (x) непрерывна на отрезке [а, b] и дифференцируема в интервале (а, b), то существует точка с, принадлежащая интервалу (а, b), такая, что f (b) — f (a) = (b—a) f’(c). В интегральном исчислении наиболее важной теоремой о Средние является следующая: если f (x) непрерывна на отрезке [а, b], а j(x) сохраняет постоянный знак, то существует точка с из интервала (а, b) такая, что

  .

  В частности, если j(x) = 1, то

  .

  Вследствие этого под средним значением функции f (x) на отрезке [а, b] обычно понимают величину

  .

  Аналогично определяют среднее значение функции нескольких переменных в некоторой области.