Обратная функция, функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Так, если у = f (x) — данная функция, то переменная х, рассматриваемая как функция переменной у, х =j (y), является обратной по отношению к данной функции у = f (x). Например, Обратная функция для у = ax + b (а¹0) является х = (у—b)/a, Обратная функция для у = е^х является х = ln у и т.д. Если х =j(y) есть Обратная функция по отношению к у = f (x), то и у = f (x) есть Обратная функция по отношению к х =j(y). Областью определения Обратная функция является область значений данной функции, а областью значений Обратная функция— область определения данной. Графики двух взаимно обратных функций у = f (x) и у = j (x) (где независимое переменное обозначено одной и той же буквой х), как, например, у = ax + b и у = (х—b)/a, у = е^х и у =  ln х, симметричны по отношению к биссектрисе у = х первого и третьего координатных углов. Функция, обратная по отношению к однозначной функии, может быть многозначной (ср., например, функции х² и ). Для однозначности Обратная функция необходимо и достаточно, чтобы данная функция у = f (x) принимала различные значения для различных значений аргумента. Для непрерывной функции последнее условие может выполняться только в том случае, если данная функция монотонна (имеются в виду функции действительного аргумента, принимающие действительные значения). Обратная функция по отношению к непрерывной и монотонной функции однозначна, непрерывна и монотонна.

  Если данная функция кусочно монотонна, то, разбивая область её определения на участки её монотонности, получают однозначные ветви Обратная функция Так, одним из участков монотонности для sin х служит интервал — p/2< x < p/2; ему соответствует т. н. главная ветвь arc sin х обратной функции Arc sin х. Для пары однозначных взаимно обратных функций имеют место соотношения j[f (x)]=x и f [j(x)] = х, первое из которых справедливо для всех значений х из области определения функции f (x), а второе — для всех значений х из области определения функции j (x); например, e^lnx= х (х > 0), 1n (e^x) = х (— ¥ < х < ¥). Иногда функцию, обратную к f (x) =у, обозначают f^-1(y) = х, так что для непрерывной и монотонной функции f (x):

  F ^-1[f (x)]=f [f  ^-1) x)]=x.

Вообще же f ^--1[f (x)] представляет собой многозначную функцию от х, одним из значений которой является х; так, для f (x) = x², х (¹ 0) является лишь одним из двух значений f ^--1[f (x)] = √x² (другое: —х); для f (x) = sin х, х является лишь одним из бесконечного множества значений f^-1[f (x)] = Arc sin [sin x] = (—1) ⁿ x + np, n = 0, ± 1, ± 2,....

  Если у = f (x) непрерывна и монотонна в окрестности точки х = x₀ и дифференцируема при х = x₀, причём f'(x₀)¹ 0, то f ^--1(y) дифференцируема при у = у₀ и

(формула дифференцирования Обратная функция). Так, для —p/2 < х <p/2, у = f (x) = sin х непрерывна и монотонна, f’(x) = cos х ¹ 0 и f^-1(y)= arc sin у (—1< y <1) дифференцируема, причём

где имеется в виду положительное значение корня (так как cos х > 0 для —p/2 <  х <  p/2).