Интегральные уравнения

Большая Советская Энциклопедия. Статьи для написания рефератов, курсовых работ, научные статьи, биографии, очерки, аннотации, описания.


А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я 1 2 3 4 8 A L M P S T X
ИА ИБ ИВ ИГ ИД ИЕ ИЖ ИЗ ИИ ИЙ ИК ИЛ ИМ ИН ИО ИП ИР ИС ИТ ИУ ИФ ИХ ИЦ ИЧ ИШ ИЮ ИЯ
ИНА
ИНБ
ИНВ
ИНГ
ИНД
ИНЕ
ИНЁ
ИНЖ
ИНЗ
ИНИ
ИНК
ИНН
ИНО
ИНС
ИНТ
ИНУ
ИНФ
ИНХ
ИНЦ
ИНЧ
ИНЪ
ИНЫ
ИНЬ
ИНЮ
ИНЯ

Интегральные уравнения, уравнения, содержащие неизвестные функции под знаком интеграла. Многочисленные задачи физики и математической физики приводят к И. у. различных типов. Пусть, например, требуется с помощью некоторого оптического прибора получить изображение линейного объекта А, занимающего отрезок 0 £ x £ l оси Ox, причём освещённость объекта характеризуется плотностью u(x). Изображение В представляет собой некоторый отрезок другой оси x1; последний путём подходящего выбора начала отсчёта и единицы длины также можно совместить с отрезком 0 £ x1 £ l. Если дифференциально малый участок (х, х + Dх) объекта А вызывает освещённость изображения В с плотностью K(x1, x)u(x)dx, где функция K(x1, x) определяется свойствами оптического прибора, то полная освещённость изображения будет иметь плотность

В зависимости от того, хотят ли добиться заданной освещённости v(x1) изображения или «точного» фотографического изображения [v(x) = ku(x), где постоянная k заранее не фиксируется], или, наконец, определённой разницы освещённости А и В [u(x) — v(x) = f(x)], приходят к различным Интегральные уравнения относительно функции u(x):

Вообще, линейным интегральным уравнением 1-го рода называется уравнение вида

линейным интегральным уравнением 2-го рода, или уравнением Фредгольма,—уравнение вида

[при f (x) º 0 оно называется однородным уравнением Фредгольма]; обычно рассматриваются уравнения Фредгольма с параметром l:

Во всех уравнениях функция

— так называемое ядро Интегральные уравнения — известна, так же, как функция f (x) (а £ х£b); искомой является функция u(x) (а £ х£b).

  Функции K(x, y), f (x), u(x) и параметр уравнения l могут принимать как действительные, так и комплексные значения. В частном случае, когда ядро K(x, y) обращается в нуль при у > х, получается уравнение Вольтерра:

  Интегральные уравнения называется особым, если хотя бы один из пределов интегрирования бесконечен или ядро K(x, y) обращается в бесконечность в одной или нескольких точках квадрата а £ х£b, а £ y£b или на некоторой линии. Интегральные уравнения может относиться и к функциям нескольких переменных: таково, например, уравнение

Рассматриваются также нелинейные Интегральные уравнения, например уравнения вида

или

Линейные Интегральные уравнения 2-го рода решаются следующими методами: 1) решение u(x) получается в виде ряда по степеням l (сходящегося в некотором круге |l|<K) с коэффициентами, зависящими от х (метод Вольтерра — Неймана); 2) решение u(x), при тех значениях l, при которых оно вообще существует, выражается через некоторые целые функции от l (метод Фредгольма); 3) в случае, когда ядро симметрично, т. е. К(х, y) ºК(у, x), решение u(x) выражается в виде ряда по ортогональным функциям uк(х), являющимся ненулевыми решениями соответствующего однородного уравнения

(последнее имеет отличные от нуля решения лишь при некоторых специальных значениях параметра l = lк, k = 1, 2, ...) (метод Гильберта — Шмидта); 4) в некоторых частных случаях решение сравнительно просто получается с помощью Лапласа преобразования; 5) в случае, когда

(так называемое вырожденное ядро), отыскание u(х) сводится к решению системы алгебраических уравнений. Приближённые решения можно получить, либо применив к  какую-либо формулу численного интегрирования, либо заменив данное ядро К(х, y) некоторым вырожденным ядром, мало отличающимся от К(х, у). К Интегральные уравнения часто сводятся краевые задачи для дифференциальных уравнений, обыкновенных и с частными производными; такое сведение имеет и теоретическую и практическую ценность.

 

  Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, 3 изд., т. 4, М., 1957; Петровский И. Г., Лекции по теории интегральных уравнений, 3 изд., М., 1965; Канторович Л. В. и Крылов В. И., Приближённые методы высшего анализа, 5 изд., Л. — М., 1962.

  Д. А. Васильков.

Так же Вы можете узнать о...


Присёлков Михаил Дмитриевич [7(19).9.1881, Петербург, — 19.
Пуньи Чезаре Пуньи, Пуни (Pugni) Чезаре (Цезарь) (31.5.1802, Генуя, — 26.
Рапануйцы, коренное население острова Пасхи (Рапануи).
Реципрокное скрещивание, система из двух скрещиваний — прямого и обратного.
Ружаны, посёлок городского типа в Пружанском районе Брестской области БССР, в 38 км от ж.
Сан-Жозе-ду-Риу-Прету (São Jose do Rio Preto), город на юго-западе Бразилии, в штате Сан-Паулу.
Северо-Западный проход, морской путь между Атлантическим и Тихим океанами, проходящий через моря и проливы Канадского Арктического архипелага.
Сигбан Карл Манне Георг Сигбан, Зигбан (Siegbahn) Карл Манне Георг (р.
Следы жизни, проявления жизнедеятельности вымерших организмов.
Сомоса Анастасио Сомоса (Somoza) Анастасио (1.2.1896, Сан-Маркое, — 29.
Стадион имени В. И. Ленина Центральный в Москве, один из крупнейших в мире спортивных комплексов.
Студёное море, название на Руси в 13—17 вв. Северного Ледовитого океана.
Тазарама, горный хребет в системе Западного Саяна; то же, что Ергак-Таргак-Тайга.
Температурное излучение, то же, что тепловое излучение.