Линии второго порядка, плоские линии, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют алгебраическому уравнению 2-й степени

  a₁₁x² + a₁₂xy + a₂₂y² + 2a₁₃x + 2a₂₃y + a₁₁ = 0. (*)

  Уравнение (*) может и не определять действительного геометрического образа, но для сохранения общности в таких случаях говорят, что оно определяет мнимую Линии второго порядка В зависимости от значений коэффициентов общего уравнения (*) оно может быть преобразовано с помощью параллельного переноса начала и поворота системы координат на некоторый угол к одному из 9 приведённых ниже канонических видов, каждому из которых соответствует определённый класс линий. Именно,

  нераспадающиеся линии:

   — эллипсы,

   — гиперболы,

  y² = 2px — параболы,

   — мнимые эллипсы;

  распадающиеся линии:

   — пары пересекающихся прямых,

   — пары мнимых пересекающихся прямых,

  x² а² = 0 — пары параллельных прямых,

  x² + а² = 0 — пары мнимых параллельных прямых,

  x² = 0 — пары совпадающих параллельных прямых.

  Исследование вида Линии второго порядка может быть проведено без приведения общего уравнения к каноническому виду. Это достигается совместным рассмотрением значений т. н. основных инвариантов Линии второго порядка — выражений, составленных из коэффициентов уравнения (*), значения которых не меняются при параллельном переносе и повороте системы координат:

  , ,

  S = a₁₁ + a₂₂, (a_ij = a_ji).

Так, например, эллипсы, как нераспадающиеся линии, характеризуются тем, что для них D¹ 0; положительное значение инварианта d выделяет эллипсы среди других типов нераспадающихся линий (для гипербол d < 0, для парабол d = 0). Различить случаи действительного или мнимого эллипсов позволяет сопоставление знаков инвариантов D и S: если D и S разных знаков, эллипс действительный; эллипс мнимый, если D и S одного знака.

  Три основные инварианта D, d и S определяют Линии второго порядка (кроме случая параллельных прямых) с точностью до движения евклидовой плоскости: если соответствующие инварианты D, d и S двух линий равны, то такие линии могут быть совмещены движением. Иными словами, эти линии эквивалентны по отношению к группе движений плоскости (метрически эквивалентны).

  Существуют классификации Линии второго порядка с точки зрения др. групп преобразований. Так, относительно более общей, чем группа движений, — группы аффинных преобразований — эквивалентными являются любые две линии, определяемые уравнениями одного канонического вида. Например, две подобные Линии второго порядка (см. Подобие) считаются эквивалентными. Связи между различными аффинными классами Линии второго порядка позволяет установить классификация с точки зрения проективной геометрии, в которой бесконечно удалённые элементы не играют особой роли. Действительные нераспадающиеся Линии второго порядка: эллипсы, гиперболы и параболы образуют один проективный класс — класс действительных овальных линий (овалов). Действительная овальная линия является эллипсом, гиперболой или параболой в зависимости от того, как она расположена относительно бесконечно удалённой прямой: эллипс пересекает несобственную прямую в двух мнимых точках, гипербола — в двух различных действительных точках, парабола касается несобственной прямой; существуют проективные преобразования, переводящие эти линии одна в другую. Имеется всего 5 проективных классов эквивалентности Линии второго порядка Именно,

  невырождающиеся линии

  (x₁, x₂, x₃ — однородные координаты):

  x₁² + x₂² — x₃² = 0 — действительный овал,

  x₁² + x₂² + x₃² = 0 — мнимый овал,

  вырождающиеся линии:

  x₁² — x₂² = 0 — пара действительных прямых,

  x₁² + x₂² = 0 — пара мнимых прямых,

  x₁² = 0 — пара совпадающих действительных прямых.

  Кроме аналитического способа определения Линии второго порядка, то есть заданием уравнения, существуют и др. способы. Например, эллипс, гипербола и парабола могут быть получены как сечения конуса плоскостью — конические сечения.

 

  Лит.: Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии..., М., 1968; Ефимов Н. В., Краткий курс аналитической геометрии, 5 изд., М., 1960.

  А. Б. Иванов.