Лиувилля теорема, 1) в механике — теорема, утверждающая, что фазовый объём системы, подчиняющейся уравнениям механики в форме Гамильтона (см. Механики уравнения канонические), остаётся постоянным при движении системы. Лиувилля теорема установлена в 1838 французским учёным Ж. Лиувиллем.

Состояние механической системы, определяемое обобщенными координатами q₁, q₂, ..., q_N и канонически сопряжёнными им обобщёнными импульсами р₁, p₂, ..., p_N (где N — число степеней свободы системы), можно рассматривать как точку с прямоугольными декартовыми координатами q₁, q₂, ..., q_N, p₁, p₂, ..., p_N в пространстве 2N измерений, называемом фазовым пространством. Эволюция системы во времени представится как движение такой фазовой точки в 2N-мерном пространстве. Если в начальный момент времени фазовые точки непрерывно заполняли некоторую область в фазовом пространстве, а с течением времени перешли в другую область этого пространства, то, согласно Лиувилля теорема, соответствующие фазовые объёмы равны между собой. Т. о., движение точек, изображающих состояния системы в фазовом пространстве, подобно движению несжимаемой жидкости.

  Лиувилля теорема позволяет ввести функцию распределения частиц системы в фазовом пространстве и является основой статистической физики.

 

  Лит.: Синг Дж. Л., Классическая динамика, пер. с англ., М., 1963; Гиббс Дж., Основные принципы статистической механики, пер. с англ., М., 1946 Леонтович М. А., Статистическая физика, М. — Л., 1944.

  Д. Н. Зубарев.

2) В теории аналитических функций — теорема, утверждающая, что всякая целая функция, ограниченная во всей плоскости, тождественно равна постоянной. Л. т, названа по имени Ж. Лиувилля, положившего её в основу своих лекций (1847) по теории эллиптических функций; впервые же она была сформулирована и доказана в 1844 О. Коши.