Площадь, одна из основных величин, связанных с геометрическими фигурами. В простейших случаях измеряется числом заполняющих плоскую фигуру единичных квадратов, т. е. квадратов со стороной, равной единице длины.

  Вычисление Площадь (в геометрии) было уже в древности одной из важнейших задач практической геометрии (разбивка земельных участков). За несколько столетий до нашей эры греческие учёные располагали точными правилами вычисления Площадь (в геометрии), которые в «Началах» Евклида облечены в форму теорем. При этом Площадь (в геометрии) многоугольников определялись теми же приёмами разложения и дополнения фигур, какие сохранились в школьном преподавании. Для вычисления Площадь (в геометрии) фигур с криволинейным контуром применялся предельный переход в форме исчерпывания метода.

Теория Площадь (в геометрии) плоских фигур, ограниченных простыми (т. е. не пересекающими себя) контурами, может быть построена следующим образом. Рассматриваются всевозможные многоугольники, вписанные в фигуру F, и всевозможные многоугольники, описанные вокруг фигуры F. (Вычисление Площадь (в геометрии) многоугольника сводится к вычислению Площадь (в геометрии) равновеликого ему квадрата, который может быть получен посредством надлежащих прямолинейных разрезов и перекладывания полученных частей.) Пусть {S_i} — числовое множество Площадь (в геометрии) вписанных в фигуру многоугольников, a {S_d} — числовое множество Площадь (в геометрии) описанных вокруг фигуры многоугольников. Множество {S_i} ограничено сверху (площадью любого описанного многоугольника), а множество {S_d} ограничено снизу (например, числом нуль). Наименьшее из чисел , ограничивающее сверху множество {S_i}, называется нижней площадью фигуры F, а наибольшее из чисел , ограничивающее снизу множество {S_d}, называется верхней площадью фигуры F. Если верхняя Площадь (в геометрии) фигуры совпадает с её нижней Площадь (в геометрии), то число S =  называется площадью фигуры, а сама фигура — квадрируемой фигурой. Для того чтобы плоская фигура была квадрируемой, необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числа e можно было указать такой описанный вокруг фигуры многоугольник и такой вписанный в фигуру многоугольник, разность S_d—S_i площадей которых была бы меньше e.

  Аналитически Площадь (в геометрии) плоской фигуры может быть вычислена с помощью интегралов. Пусть фигура F — т. н. криволинейная трапеция (рис. 1) — ограничена графиком заданной на сегменте [a, b] непрерывной и неотрицательной функции f (x), отрезками прямых х = а и х = b и отрезком оси Ox между точками (а, 0) и (b, 0). Площадь (в геометрии) такой фигуры может быть выражена интегралом .

Рис. 1 к ст. Площадь.

Площадь (в геометрии) фигуры, ограниченной замкнутым контуром, который встречается с параллелью к оси Оу не более чем в двух точках, может быть вычислена как разность Площадь (в геометрии) двух фигур, подобных криволинейной трапеции. Площадь (в геометрии) фигуры может быть выражена в виде двойного интеграла: ,

где интегрирование распространяется на часть плоскости, занятой фигурой.

  Теория Площадь (в геометрии) фигур, расположенных на кривой поверхности, может быть определена следующим образом. Пусть F — односвязная фигура на гладкой поверхности, ограниченная кусочно гладким контуром. Фигура F разбивается кусочно гладкими кривыми на конечное число частей Ф_i, каждая из которых однозначно проектируется на касательную плоскость, проходящую через точку M_i, принадлежащую части Ф_i, (рис. 2). Предел сумм площадей этих проекций (если он существует), взятых по всем элементам разбиения, при условиях, что максимум диаметров этих элементов стремится к нулю и что он не зависит от выбора точек M_i, называется площадью фигуры F. Фигура на поверхности, для которой этот предел существует, называется квадрируемой. Квадрируемыми являются кусочно гладкие ограниченные полные двусторонние поверхности. Площадь (в геометрии) всей поверхности слагается из Площадь (в геометрии) составляющих её частей.

Рис. 2 к ст. Площадь.

  Аналитически Площадь (в геометрии) фигуры F на поверхности, заданной уравнением z = f (x, у), где функция f однозначна и имеет непрерывные частные производные, может быть выражена следующим образом .

Здесь G — замкнутая область, являющаяся проекцией фигуры F на плоскость Оху, ds — элемент площади на поверхности.

  Об обобщении понятия Площадь (в геометрии) см. Мера множеств.

 

  Лит.: Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 2, М., 1969; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, т. 1—2, М., 1970; Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1—2, М., 1971—73.