Предельный цикл системы дифференциальный уравнений 2-го порядка

Рис. к ст. Предельный цикл.

 — замкнутая траектория в фазовом пространстве xOy, обладающая тем свойством, что все траектории, начинающиеся в достаточно узкой кольцеобразной ее окрестности, неограниченно приближаются к этой траектории или при t® +¥ (устойчивый Предельный цикл), или при t® -¥ (неустойчивый Предельный цикл), или часть из них при t® +¥, а остальные — при t® -¥ (полуустойчивый Предельный цикл). Например, система

(r и j — полярные координаты), общее решение которой r = 1 – (1 – r₀)e^-t, j = j₀ + t (где r₀³ 0), имеет устойчивый Предельный цикл r = 1 (см. рис.). Понятие Предельный цикл переносится также на систему n-го порядка. С механической точки зрения устойчивый Предельный цикл соответствует устойчивому периодическому режиму системы. Поэтому разыскание Предельный цикл имеет важное значение в теории нелинейных колебаний.

 

  Лит.: Понтрягин Л. С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, 3 изд., М., 1970; Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э., Теория колебаний, 2 изд., М., 1959.