Дифференциальные уравнения, уравнения, содержащие искомые функции, их производные различных порядков и независимые переменные. Теория Дифференциальные уравнения возникла в конце 17 в. под влиянием потребностей механики и других естественнонаучных дисциплин, по существу одновременно с интегральным исчислением и дифференциальным исчислением.

  Простейшие Дифференциальные уравнения встречались уже в работах И. Ньютона и Г. Лейбница; термин «Дифференциальные уравнения» принадлежит Лейбницу. Ньютон при создании исчисления флюксий и флюент (см. Флюксий исчисление) ставил две задачи: по данному соотношению между флюентами определить соотношение между флюксиями; по данному уравнению, содержащему флюксии, найти соотношение между флюентами. С современной точки зрения, первая из этих задач (вычисление по функциям их производных) относится к дифференциальному исчислению, а вторая составляет содержание теории обыкновенных Дифференциальные уравнения Задачу нахождения неопределённого интеграла F (x) функции f (x) Ньютон рассматривал просто как частный случай его второй задачи. Такой подход был для Ньютона как создателя основ математического естествознания вполне оправданным: в очень большом числе случаев законы природы, управляющие теми или иными процессами, выражаются в форме Дифференциальные уравнения, а расчёт течения этих процессов сводится к решению Дифференциальные уравнения

  Следующие два простых примера могут служить иллюстрацией к сказанному.

  1) Если тело, нагретое до температуры Т, помещено в среду, температура которой равна нулю, то при известных условиях можно считать, что приращение DТ (отрицательное в случае T > 0) его температуры за малый промежуток времени Dt с достаточной точностью выражается формулой   DT = -kTDt,

где k — постоянный коэффициент. При математической обработке этой физической задачи считают, что выполняется точно соответствующее предельное соотношение между дифференциалами   dT = -kTdt,          (1)

т. е. имеет место Дифференциальные уравнения   T' = -kT,

где T' (обозначает производную по t. Решить полученное Дифференциальные уравнения, или, как выражаются иначе, проинтегрировать его, значит найти функции, обращающие его в тождество. Для уравнения (1) все такие функции (т. е. все его частные решения) имеют вид   Т = Ce^-kt,          (2)

где С постоянно. Сама формула (2) с произвольной постоянной С называется общим решением уравнения (1).

  2) Пусть, например, груз р массы m подвешен к пружине и находится в положении равновесия (рис. 1, а). Отклоняя его от положения равновесия с помощью растяжения пружины (рис. 1, б), приводят груз в движение. Если x (t) обозначает величину отклонения тела от положения равновесия в момент времени t, то ускорение тела выражается 2-й производной x'' (t). Сила mх'' (t), действующая на тело, при небольших растяжениях пружины по законам теории упругости пропорциональна отклонению x (t). Т. о., получается Дифференциальные уравнения   mх" (t) = – kx (t).          (3)

Рис. 1 к ст. Дифференциальные уравнения.

Его решение имеет вид:  

и показывает, что тело будет совершать гармонические колебания (рис. 1, в).

  Теория Дифференциальные уравнения выделилась в самостоятельную детально разработанную научную дисциплину в 18 в. (труды Д. Бернулли, Ж. Д' Аламбера и особенно Л. Эйлера).

  Дифференциальные уравнения делятся на «обыкновенные», содержащие производные одной или нескольких функций одного независимого переменного, и «уравнения с частными производными», содержащие частные производные функций нескольких независимых переменных. Порядком Дифференциальные уравнения называется наибольший порядок входящих в него производных. Так, например,  

есть Дифференциальные уравнения с частными производными 2-го порядка.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Уравнения 1-го порядка. Обыкновенным Дифференциальные уравнения 1-го порядка с одной неизвестной функцией (только такие пока будут рассматриваться) называется соотношение   F (x, у, у') = 0          (А)

между независимым переменным х, искомой функцией у и её производной  

Если уравнение (А) может быть разрешено относительно производной, то получается уравнение вида   y' = f (x, у).          (Б)

Многие вопросы теории Дифференциальные уравнения проще рассматривать для таких разрешённых относительно производной уравнений, предполагая функцию f (x, y) однозначной.

  Уравнение (Б) можно записать в виде соотношения между дифференциалами   f (x, y) dx-dy = 0,

тогда оно становится частным случаем уравнений вида   Р (х, у) dx + Q (x, у) dy = 0.          (В)

В уравнениях вида (В) естественно считать переменные х и у равноправными, т. е. не интересоваться тем, какое из них является независимым.

  Геометрическая интерпретация дифференциальных уравнений. Пусть у = у (х) есть решение уравнения (Б). Геометрически это значит, что в прямоугольных координатах касательная к кривой у = у (х) имеет в каждой лежащей на ней точке М (х, у) угловой коэффициент k = f (x, у). Т. о., нахождение решений у = у (х) геометрически сводится к такой задаче: в каждой точке некоторой области на плоскости задано «направление», требуется найти все кривые, которые в любой своей точке М имеют направление, заранее сопоставленное этой точке. Если функция f (x, у) непрерывна, то это направление меняется при перемещении точки М непрерывно, и можно наглядно изобразить поле направлений, проведя в достаточно большом числе достаточно густо расположенных по всей рассматриваемой области точек короткие чёрточки с заданным для этих точек направлением. На рис. 2 это выполнено для уравнения у' = у². Рисунок позволяет сразу представить себе, как должны выглядеть графики решения — так называемые интегральные кривые Дифференциальные уравнения Вычисление показывает, что общее решение данного уравнения есть  

Рис. 2 к ст. Дифференциальные уравнения.

На рис. 2 вычерчены интегральные кривые, соответствующие значениям параметра С = 0 и С = 1.

  График любой однозначной функции у = у (х) пересекает каждую прямую, параллельную оси Оу, только один раз. Таковы, следовательно, интегральные кривые любого уравнения (Б) с однозначной непрерывной функцией в правой части. Новые возможности для вида интегральных кривых открываются при переходе к уравнениям (В). При помощи пары непрерывных функций Р (х, у) и Q (x, у) можно задать любое непрерывное «поле направлений». Задача интегрирования уравнений (В) совпадает с чисто геометрической (не зависящей от выбора осей координат) задачей разыскания интегральных кривых по заданному на плоскости полю направлений. Следует заметить, что тем точкам (x₀, у₀), в которых обе функции Р (х, у) и Q (x, у) обращаются в нуль, не соответствует какое-либо определённое направление. Такие точки называются особыми точками уравнения (В).

  Пусть, например, задано уравнение   ydx + xdy = 0,

которое можно записать в виде  

хотя, строго говоря, правая часть этого последнего уравнения теряет смысл при х = 0 и у = 0. Соответствующие поле направлений и семейство интегральных кривых, являющихся в этом случае окружностями х² + у² = С, изображены на рис. 3. Начало координат (х = 0, у = 0) — особая точка данного уравнения. Интегральными кривыми уравнения   ydx-xdy = 0,

Рис. 3 к ст. Дифференциальные уравнения.

изображёнными на рис. 4, являются всевозможные прямолинейные лучи, выходящие из начала координат; начало координат является особой точкой и этого уравнения.

Рис. 4 к ст. Дифференциальные уравнения.

  Начальные условия. Геометрическая интерпретация Дифференциальные уравнения 1-го порядка приводит к мысли, что через каждую внутреннюю точку М области G с заданным непрерывным полем направлений можно провести одну вполне определённую интегральную кривую.

  В отношении существования интегральной кривой сформулированная гипотеза оказывается правильной. Доказательство этого предложения принадлежит Дж. Пеано. В отношении же единственности интегральной кривой, проходящей через заданную точку, высказанная выше гипотеза оказывается, вообще говоря, ошибочной. Уже для такого простого уравнения, как  

у которого правая часть непрерывна во всей плоскости, интегральные кривые имеют вид, изображённый на рис. 5. Единственность интегральной кривой, проходящей через заданную точку, нарушается здесь во всех точках оси Ox.

Рис. 5 к ст. Дифференциальные уравнения.

  Единственность, т. е. однозначное определение интегральной кривой условием её прохождения через заданную точку, имеет место для уравнений (Б) с непрерывной правой частью при том дополнительном условии, что функция f (х, у) имеет в рассматриваемой области ограниченную производную по у.

  Это требование является частным случаем следующего, несколько более широкого условия Липшица: существует такая постоянная L, что в рассматриваемой области всегда   |f (x, y₁) -f (x, y₂)| < L|у₁–у₂|.

Это условие чаще всего приводится в учебниках как достаточное условие единственности.

  С аналитической стороны теоремы существования и единственности для уравнения вида (Б) обозначают следующее: если выполнены надлежащие условия [например, функция f (x, y) непрерывна и имеет ограниченную производную по у], то задание для «начального» значения x₀ независимого переменного х «начального» значения у₀ = у (x₀) функции у (х) выделяет из семейства всех решений у (х) одно определённое решение. Например, если для рассмотренного выше уравнения (1) потребовать, чтобы в начальный момент времени t₀ = 0 температура тела была равна «начальному» значению Т₀, то из бесконечного семейства решений (2) выделится одно определённое решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:   T (t) = T₀e^-kt.

  Этот пример типичен: в механике и физике Дифференциальные уравнения обычно определяют общие законы течения какого-либо явления; однако, чтобы получить из этих законов определённые количественные результаты, надо присоединить к ним сведения о начальном состоянии изучаемой физической системы в некоторый определённый выбранный в качестве «начального» момент времени t₀.

  Если условия единственности выполнены, то решение y (x), удовлетворяющее условию у (x₀) = у₀, можно записать в виде:   y (x) = j(x; х₀, у₀),          (5)

где x₀ и у₀ входят как параметры, функция же j (х; x₀, y₀) трёх переменных х, x₀ и y₀ однозначно определяется самим уравнением (Б). Важно отметить, что при достаточно малом изменении поля (правой части Дифференциальные уравнения) функция j(х; x₀, у₀) меняется сколь угодно мало на конечном промежутке изменения переменного х — имеется непрерывная зависимость решения от правой части Дифференциальные уравнения Если правая часть f (x, у) Дифференциальные уравнения непрерывна и её производная по у ограничена (или удовлетворяет условию Липшица), то имеет место также непрерывность j(х; х₀, у₀) по x₀ и y₀.

  Если в окрестности точки (х₀, у₀) для уравнения (Б) выполнены условия единственности, то все интегральные кривые, проходящие через достаточно малую окрестность точки (x₀, у₀), пересекают вертикальную прямую х = х₀ и определяются ординатой у = С своей точки пересечения с этой прямой (см. рис. 6). Т. о., все эти решения содержатся в семействе с одним параметром С:   y (x) = F (x, C),

Рис. 6 к ст. Дифференциальные уравнения.

которое является общим решением Дифференциальные уравнения (Б).

  В окрестности точек, в которых нарушаются условия единственности, картина может быть сложнее. Весьма сложен и вопрос о поведении интегральных кривых «в целом», а не в окрестности точки (x₀, у₀).

  Общий интеграл. Особые решения. Естественно поставить обратную задачу: задано семейство кривых, зависящих от параметра С, требуется найти Дифференциальные уравнения, для которого кривые заданного семейства служили бы интегральными кривыми. Общий метод для решения этой задачи заключается в следующем: считая семейство кривых на плоскости хОу заданным при помощи соотношения   F (x, y, C) = 0,          (6)

дифференцируют (6) при постоянном С и получают  

или в симметричной записи   

и из двух уравнений (6) и (7) или (6) и (8) исключают параметр С. Если данное Дифференциальные уравнения получается таким образом из соотношения (6), то это соотношение называется общим интегралом заданного Дифференциальные уравнения Одно и то же Дифференциальные уравнения может иметь много различных общих интегралов. После нахождения для заданного Дифференциальные уравнения общего интеграла оказывается необходимым, вообще говоря, ещё исследовать, не имеет ли Дифференциальные уравнения дополнительных решений, не содержащихся в семействе интегральных кривых (6).

  Пусть, например, задано семейство кривых   (х-С)³-у = 0.          (9)

Дифференцируя (9) при постоянном С получают   3(х-С)²-у' = 0,

после же исключения С приходят к Дифференциальные уравнения   27y²- (y ')³ = 0,          (10)

равносильному уравнению (4). Легко видеть, что кроме решений (9), уравнение (10) имеет решение   yº 0.          (11)

  Решение уравнения (10) самого общего вида таково:  

где -¥£ C₁£ C₂£ +¥ (рис. 7). Оно зависит от двух параметров C₁ и C₂, но составляется из кусков кривых однопараметрического семейства (9) и куска особого решения (11).

Рис. 7 к ст. Дифференциальные уравнения.

  Решение (11) уравнения (10) может служить примером особого решения Дифференциальные уравнения В качестве другого примера можно рассмотреть семейство прямых   4(у-Cx) + C²= 0.          (12)

Эти прямые являются интегральными кривыми Дифференциальные уравнения   4(у-ху') + (у')² = 0.

Особой же интегральной кривой этого Дифференциальные уравнения служит парабола   х²-у = 0,

огибающая прямые (12) (рис. 8). Картина, наблюдавшаяся в рассмотренном примере, типична; особые интегральные кривые обычно являются огибающими семейства интегральных кривых, получаемых из общего решения.

Рис. 8 к ст. Дифференциальные уравнения.

  Дифференциальные уравнения высших порядков и системы дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения n-го порядка с одной неизвестной функцией у (х) независимого переменного х записывают так:   F (х, у, y', у", ..., y^(n-1), y⁽ⁿ⁾) = 0.          (13)

Если ввести дополнительные неизвестные функции   y₁ = y', y₂ = y", ..., y_n-1 = y ^(n-1),          (14)

то уравнение (13) можно заменить системой из n уравнений с n неизвестными функциями, но зато 1-го порядка. Для этого достаточно к n- 1 уравнениям (14) присоединить уравнение   F (x, у, y₁, у₂, ..., y_n-1, y'_n-1) = 0.

  Аналогичным образом сводятся к системам уравнений 1-го порядка и системы уравнений высших порядков. В механике сведение систем уравнений 2-го порядка к системе из удвоенного числа уравнений 1-го порядка имеет простой механический смысл. Например, система трёх уравнений движения материальной точки   mx" = p (x, y, z), my" = Q (x, у, z),   mz" = R (x, у, z),

где х, у, z — координаты точки, зависящие от времени t, сводится к системе шести уравнений:   mu' = р (х, у, z), mv' = Q (x, у, z),   nw' = R (x, у, z), u = х', v = y', w = z'

при помощи введения в качестве новых переменных составляющих u, v, w скорости.

  Наибольшее значение имеют системы, в которых число уравнений равно числу неизвестных функций. Система из n уравнений 1-го порядка с n неизвестными функциями, разрешённая относительно производных, имеет вид:  

Решением системы Дифференциальные уравнения (а) называется система функций x₁(t), x₂(t), ..., x_n (t), которая при подстановке в уравнения (а) обращает их в тождества. Часто встречаются системы вида (а), в которых правые части не зависят от t. В этом случае изучение системы (а) в основном сводится к изучению системы из (n- 1)-го уравнения, которую целесообразно записывать в симметричной форме  

не предрешая вопроса о том, от какого из переменных х₁, x₂,..., x_n мыслятся зависящими остающиеся n- 1 переменных. Считая х = (x₁, x₂,..., x_n) вектором, можно записать систему (а) в виде одного векторного уравнения:  

что позволяет широко пользоваться при изучении систем (а) аналогией с теорией одного уравнения 1-го порядка вида (Б). В частности, оказывается, что для систем (а) сохраняют силу основные результаты относительно существования и единственности решения задачи с начальными условиями: если в окрестности точки (t₀, х₁⁰, x₂⁰, ..., x_n⁰) все функции F_i непрерывны по совокупности переменных t, x₁, x₂, ..., x_n и имеют ограниченные производные по переменным x₁, x₂, ..., x_n, то задание начальных значений x_i (t₀) = x_i⁰, i = 1, 2, ..., n, определяет одно, вполне определённое, решение системы (а). Этим объясняется то, что, вообще говоря, решение систем из n уравнений 1-го порядка с n неизвестными функциями зависит от n параметров.

  Для приведённых выше конкретных примеров Дифференциальные уравнения их общее решение удаётся выразить при помощи элементарных функций. Типы Дифференциальные уравнения, допускающие такого рода решение, детально изучаются. Часто придерживаются более общей точки зрения, считая Дифференциальные уравнения «решённым», если искомая зависимость между переменными (и входящими в общее решение параметрами c₁, c₂, ...) может быть выражена при помощи элементарных функций и одной или нескольких операций взятия неопределённого интеграла («решение выражено в квадратурах»).

  Большой общностью обладают способы нахождения решений при помощи разложения их в степенные ряды. Например, если правые части уравнений (а) в окрестности точки (t₀, x₁⁰, x₂⁰, ..., x_n⁰) голоморфны (см. Аналитические функции), то решение соответствующей начальной задачи выражается функциями x_i (t), разлагающимися в степенные ряды:  

коэффициенты которых можно найти последовательным дифференцированием правых частей Дифференциальные уравнения (а) и сопоставлением коэффициентов при одинаковых степенях в левых и правых частях этих уравнений.

  Из специальных типов Дифференциальные уравнения особенно хорошо разработана теория линейных Дифференциальные уравнения и систем линейных Дифференциальные уравнения (см. Линейные дифференциальные уравнения).

  Для линейных Дифференциальные уравнения сравнительно просто решаются также вопросы «качественного» поведения интегральных кривых, т. е. их поведение во всей области задания Дифференциальные уравнения Для нелинейных Дифференциальные уравнения, где нахождение общего решения особенно сложно, вопросы качественной теории Дифференциальные уравнения приобретают иногда даже доминирующее значение. После классических работ А. М. Ляпунова ведущую роль в качественной теории Дифференциальные уравнения играют работы советских математиков, механиков и физиков. В связи с этой теорией см. Динамическая система, Особая точка, Устойчивость, Предельный цикл.

  Большое значение имеет аналитическая теория Дифференциальные уравнения, изучающая решения Дифференциальные уравнения с точки зрения теории аналитических функций, т. е. интересующаяся, например, расположением их особых точек в комплексной плоскости и т.п.

  Наряду с рассмотренной выше начальной задачей, в которой задаются значения искомых функций (а в случае уравнений старших порядков и их производных) в одной точке (при одном значении независимого переменного), находят широкое применение краевые задачи.

Дифференциальные уравнения с частными производными. Типичной особенностью Дифференциальные уравнения с частными производными и систем Дифференциальные уравнения с частными производными является то, что для однозначного определения частного решения здесь требуется задание не значений того или иного конечного числа параметров, а некоторых функций. Например, общим решением уравнения  

является выражение   u (t, x) = f (x + t) + g (x-t),

где f и g — произвольные функции. Т. о., Дифференциальные уравнения (16) лишь в той мере ограничивает произвол в выборе функции двух переменных u (х, у), что её удаётся выразить через две функции f (z) и g (v) от одного переменного, которые остаются [если в дополнение к уравнению (16) не дано каких-либо «начальных» или «краевых» условий] произвольными.

  Типичной задачей с начальными условиями для системы Дифференциальные уравнения с частными производными 1-го порядка  

где независимыми переменными являются t, x₁,..., x_n, а u₁,..., u_m суть функция от этих независимых переменных, может служить задача Коши: по заданным при каком-либо t = t₀ значениям   u_i (t₀, x₁,..., x_n) = j_i (x₁,..., x_n),   i = 1, 2, ..., m,

найти функции u_i (t, x₁, ..., x_n).

  В теории Дифференциальные уравнения с частными производными порядка выше первого и систем Дифференциальные уравнения с частными производными рассматриваются как задачи типа Коши, так и ряд краевых задач.

  При постановке и решении краевых задач для Дифференциальные уравнения с частными производными порядка выше первого существенное значение имеет тип уравнения. В качестве примера можно привести классификацию Дифференциальные уравнения с частными производными 2-го порядка с одной неизвестной функцией z (х, у) от двух переменных:   F (x, у, z, р, q, r, s, t) = 0,          (18)

где  

Если  

то (18) есть эллиптическое уравнение. Примером может служить уравнение Лапласа:  

Если D < 0, то (18) есть гиперболическое уравнение. Примером может служить уравнение колебания струны:  

Если D = 0, то (18) есть параболическое уравнение. Примером может служить уравнение распространения тепла:  

О краевых задачах для этих различных типов уравнений см. Уравнения математической физики.

 

  Лит.:ОбыкновенныеДифференциальные уравнения Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., М., 1959; Петровский И. Г., Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, 5 изд., М., 1964; Понтрягин Л. С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, 2 изд., М., 1965; Камке Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, пер. с нем., 3 изд., М., 1965; Филиппов А. Ф., Сборник задач по дифференциальным уравнениям, 2 изд., М., 1965.

Дифференциальные уравнения с частными производными. Петровский И. Г., Лекции об уравнениях с частными производными, 3 изд., М., 1961; Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 3 изд., М., 1966; Соболев С. Л., Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1966; Смирнов М. М., Задачи по уравнениям математической физики, 5 изд., М., 1968.

  По материалам одноимённой статьи из 2-го издания БСЭ.