Общее решение обыкновенного дифференциального уравнения

Рис. к ст. Общее решение.

  у ⁽ⁿ⁾ = f (х, у, у',..., у ^(n-1)) — семейство функций у= j(x, C₁,..., С_п),

  непрерывно зависящих от n произвольных постоянных C₁,..., C_n, такое, что при соответствующем выборе этих постоянных может быть получено любое решение уравнения (частное решение), однозначно определяемое начальными данными, заполняющими некоторую область n-мерного пространства (см. Дифференциальные уравнения, Коши задача). Если каждая функция у, определяемая соотношением F(x, у,C₁,..., С_п) = 0 (и удовлетворяющая соответствующим условиям гладкости), представляет собой Общее решение дифференциального уравнения, то такое соотношение называется общим интегралом дифференциального уравнения. Например, для дифференциального уравнения y' = — х/у функции (верхние полуокружности) и (нижние полуокружности) представляют собой Общее решение; соотношение же х² + y² = C²(семейство окружностей) есть общий интеграл (рис.).

  Аналогично определяется Общее решение для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

 

  Лит.: Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., М., 1959.