Пуассона уравнение, уравнение с частными производными вида Du = f, где D —оператор Лапласа:

При n = 3 этому уравнению удовлетворяет потенциал u (х, у, z) объёмных масс, распределённых с плотностью f (x, у,z)/4p (в областях, где f = 0 потенциал u удовлетворяет уравнению Лапласа), а также потенциал объёмно распределённых электрических зарядов. При этом плотность распределения f должна удовлетворять известным требованиям гладкости (например, условию непрерывности частных производных). Если функция f отлична от нуля лишь в конечной области G, ограничена и имеет непрерывные частные производные первого порядка, то при n = 2 частное решение Пуассона уравнение имеет вид:

а при n = 3:

где r (А, Р) — расстояние между переменной точкой интегрирования А и некоторой точкой Р. В более подробной записи V (х, у, z) =

Решение краевых задач для Пуассона уравнение сводится подстановкой к решению краевых задач для уравнения Лапласа Dw = 0.

  Пуассона уравнение впервые (1812) было изучено С. Д. Пуассоном.