Антагонистические игры (матем.), понятие теории игр (см. Игр теория). Антагонистические игры — игры, в которых участвуют два игрока (обычно обозначаемые I и II) с противоположными интересами. Для Антагонистические игры характерно, что выигрыш одного игрока равен проигрышу другого и наоборот, поэтому совместные действия игроков, их переговоры и соглашения лишены смысла. Большинство азартных и спортивных игр с двумя участниками (командами) можно рассматривать как Антагонистические игры Принятие решений в условиях неопределённости, в том числе принятие статистических решений, также можно интерпретировать как Антагонистические игры Определяются Антагонистические игры заданием множеств стратегий игроков и выигрышей игрока I в каждой ситуации, состоящей в выборе игроками своих стратегий. Таким образом, формально Антагонистические игры есть тройка ‹А, В, Н›, в которой А и В — множества стратегий игроков, а Н (а, b) — вещественная функция (функция выигрыша) от пар (а, b), где а Î A, b Î В. Игрок I, выбирая а, стремится максимизировать Н(а, b), а игрок II, выбирая b, — минимизировать Н (а, b). Антагонистические игры с конечными множествами стратегий игроков называются матричными играми.

Основой целесообразного поведения игроков в Антагонистические игры считается принцип минимакса. Следуя ему, I гарантирует себе выигрыш

точно так же II может не дать I больше, чем

Если эти «минимаксы» равны, то их общее значение называется значением игры, а стратегии, на которых достигаются внешние экстремумы, — оптимальными стратегиями игроков. Если «минимаксы» различны, то игрокам следует применять смешанные стратегии, т. е. выбирать свои первоначальные («чистые») стратегии случайным образом с определёнными вероятностями. В этом случае значение функции выигрыша становится случайной величиной, а её математическое ожидание принимается за выигрыш игрока I (соответственно, за проигрыш II). В играх против природы оптимальную смешанную стратегию природы можно принимать как наименее благоприятное априорное распределение вероятностей её состояний. В Антагонистические игры игроки, используя свои оптимальные стратегии, ожидают получения (например, в среднем, если игра повторяется многократно) вполне определённых выигрышей. На этом основан рекуррентный подход к динамическим играм в тех случаях, когда они сводятся к последовательностям Антагонистические игры, решения которых можно найти непосредственно (например, если эти Антагонистические игры являются матричными). Антагонистические игры составляют класс игр, в которых принципиальные основы поведения игроков достаточно ясны. Поэтому всякий анализ более общих игр при помощи Антагонистические игры полезен для теории. Пример такого анализа даёт классическая кооперативная теория игр, изучающая общие бескоалиционные игры через системы Антагонистические игры каждой из коалиций игроков против коалиции, состоящей из всех остальных игроков.

 

  Лит.: Бесконечные антагонистические игры, под ред. Н. Н. Воробьева, М., 1963.

  Н. Н. Воробьев.