Экстремум

Большая Советская Энциклопедия. Статьи для написания рефератов, курсовых работ, научные статьи, биографии, очерки, аннотации, описания.


А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я 1 2 3 4 8 A L M P S T X
ЭА ЭБ ЭВ ЭГ ЭД ЭЕ ЭЖ ЭЗ ЭЙ ЭК ЭЛ ЭМ ЭН ЭО ЭП ЭР ЭС ЭТ ЭУ ЭФ ЭХ ЭЦ ЭЧ ЭШ ЭЭ ЭЯ
ЭКА
ЭКБ
ЭКВ
ЭКГ
ЭКД
ЭКЕ
ЭКЗ
ЭКИ
ЭКК
ЭКЛ
ЭКМ
ЭКН
ЭКО
ЭКР
ЭКС
ЭКТ
ЭКУ
ЭКХ
ЭКЮ

Экстремум (от лат. extremum — крайнее), значение непрерывной функции f (x), являющееся или максимумом, или минимумом. Точнее: непрерывная в точке х0 функция f (x) имеет в x0 максимум (минимум), если существует окрестность (x0 +d, x0 d) этой точки, содержащаяся в области определения f (x), и такая, что во всех точках этой окрестности выполняется неравенство f (x0), ³ f (x) [соответственно, f (x0) £f (x)]. Если при этом существует такая окрестность, что в ней f (x0) > f (x) [или f (x0) << f (x)] при х ¹ x0, то говорят о строгом, или собственном, максимуме (минимуме), в противном случае — о нестрогом, или несобственном, максимуме (минимуме) (на рис. 1 в точке А достигается строгий максимум, в точке В — нестрогий минимум). Точки максимума и минимума называются точками экстремума. Для того чтобы функция f (x) имела Экстремум в некоторой точке x0, необходимо, чтобы она была непрерывна в x0 и чтобы либо f`(x0) = 0 (точка А на рис. 1), либо f`(x0) не существовала (точка С на рис. 1). Если при этом в некоторой окрестности точки x0 производная f'(x) слева от x0положительна, а справа отрицательна, то f (x) имеет в x0 максимум; если f'(x) слева от x0 отрицательна, а справа положительна, то — минимум (первое достаточное условие Экстремум). Если же f'(x) не меняет знака при переходе через точку x0, то функция f (x) не имеет Экстремум в точке x0 (точки D, Е и F на рис. 1). Если f (x) в точке x0 имеет п последовательных производных, причём f'(x0) = f``(x0) =...= f (n-1) (x0)=0, a f (n)(x0)¹0, то при п нечётном f (x) не имеет Экстремум в точке x0, а при п чётном имеет минимум, если f (n) (x0) > 0, и максимум, если f (n) (x0) < 0. Экстремум функции не следует смешивать с наибольшим и наименьшим значениями функции.

Рис. 1. к ст. Экстремум. Экстремум.

Рис. 1. к ст. Экстремум.

  Аналогично Экстремум функции одного переменного определяется Экстремум функции нескольких переменных. Необходимым условием Экстремум является в этом случае обращение в нуль или же несуществование частных производных первого порядка. Например, на рис. 2 частные производные равны нулю в точке М, на рис. 3 в точке М они не существуют. Если в некоторой окрестности точки М (х0, y0) существуют и непрерывны первые и вторые частные производные функции f (x, у) и в самой точке f'x = f'y = 0,

Рис. 2. к ст. Экстремум. Экстремум.

Рис. 2. к ст. Экстремум.

Рис. 3. к ст. Экстремум. Экстремум.

Рис. 3. к ст. Экстремум.

  D = f''xx f'' уу> 0,

то f (x, у) в точке М имеет Экстремум (максимум при f''xx < 0 и минимум при f''xx > 0); Экстремум в точке М не существует, если D < 0 (в этом случае М является т. н. седловиной, или точкой минимакса, см. рис. 4).

Рис. 4. к ст. Экстремум. Экстремум.

Рис. 4. к ст. Экстремум.

  Достаточные условия Экстремум функций многих переменных сводятся к положительной (или отрицательной) определённости квадратичной формы

Sni, k=1 aikDxiDxk

  где aikзначение f''xixkв исследуемой точке. См. также Условный экстремум.

  Термин «Экстремум» употребляется также при изучении наибольших и наименьших значений функционалов в вариационном исчислении.

 

  Лит.: Ильин В. А., Позняк Экстремум Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971.

Так же Вы можете узнать о...


Долгота эклиптическая, координата в эклиптической системе координат.
Кураев Василий Владимирович (1892 — 10.1.1938), советский государственный и партийный деятель.
Орфелин Захарие Орфелин (псевдоним; настоящая фамилия Стефанович, Стефановиħ) Захарие (1726, Вуковар, — 19.
Скенирование, см. Сканирование в радиологии.
Центральный затвор, лепестковый апертурный фотографический затвор, который открывает световое отверстие объектива (в процессе смещения его светонепроницаемых заслонок — лепестков) в направлении от центра отверстия к его краям, а закрывает в обратном направлении.
Бикчентаев Анвер Гадеевич [р. 25.10(7.11).1913, Уфа], башкирский советский писатель.
Довбор-Мусницкого мятеж 1918, антисоветское выступление в Белоруссии 1-го Польского корпуса легионеров, сформированного буржуазным Временным правительством в июле 1917.
Куминовый альдегид ,n-изопропилбензальдегид, бесцветная жидкость, обладающая при сильном разведении запахом тмина; tkип 235 °С, плотность 0,9778 г/см3 (20 °С), показатель преломления nD20 1,5301.
Орлик (раст. сем. лютиковых) Орлик, род растений семейства лютиковых; то же, что водосбор.
Ситуэ, Акьяб, город в Бирме, порт на берегу Бенгальского залива в устье р.
Целое число, см. Число.
Бёрд (станция в Антарктиде) Бёрд (Byrd), американская научная станция в Антарктиде; см.
Дияла, Диала, река в Ираке (истоки составляющих в Иране), левый приток Тигра.
Кулачество (рус. термин от слова «кулак», первоначально синоним к словам «выжига», «мироед», обозначал человека, наживавшегося грабительской эксплуатацией, ростовщичеством и спекуляцией; с 1890-х использовался для обозначения формирующейся буржуазии деревни), деревенская буржуазия.
Ордер (воен.) Ордер, регламентированное по направлениям и дистанциям взаимное расположение военных кораблей на переходе морем и во время боя.
Синьдянь, поздненеолитическая археологическая культура, распространённая на З.