Гипергеометрические функции, аналитические функции, определяемые для |z|<1c помощью гипергеометрического ряда. Название «Гипергеометрические функции» было дано Дж. Валлисом (1650). Гипергеометрические функции являются интегралами гипергеометрического уравнения   z (1—z)w» + [g—(1 + a+ bz]w'—abw = 0.

  Это уравнение имеет три регулярные особые точки 0, 1 и ¥ и является канонической формой уравнений гипергеометрического типа. Важнейшие специальные функции математического анализа являются интегралами уравнений гипергеометрического типа (например, шаровые функции) или уравнений, возникающих из гипергеометрических путём слияния их особых точек (например, цилиндрические функции). Теория уравнений гипергеометрического типа явилась основой для возникновения важной математической дисциплины — аналитической теории дифференциальных уравнений. Между различными Гипергеометрические функции   w = F (a, b; g; z)

  имеется большое число соотношений, например:   F (a, 1; g, z) = (1—z)^–1F (1, g —a; g; z/(z—1)).  

  Лит.: Уиттекер Э. Т. и Ватсон Дж. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М., 1963.