Цилиндрические функции, весьма важный с точки зрения приложений в физике и технике класс трансцендентных функций, являющихся решениями дифференциального уравнения:      (1)

где n — произвольный параметр. К этому уравнению сводятся многие вопросы равновесия (упругого, теплового, электрического) и колебаний тел цилиндрической формы. Решение, имеющее вид: 

[где Г (z) — гамма-функция; ряд справа сходится при всех значениях х], называется Цилиндрические функции первого рода порядка n. В частности, Цилиндрические функции нулевого порядка имеет вид:

  Если n — целое отрицательное: n = — n, то J_n(x) определяется так: J_-n (x) = (— 1) ⁿ J_n(x).

Цилиндрические функции порядка n = m  + ¹/₂, где m — целое число, сводится к элементарным функциям, например: ,

  Функции J_n(x) и уравнение (1) называют также по имени Ф. Бесселя (Бесселя функции, Бесселя уравнение). Однако эти функции и уравнение (1) были получены ещё Л. Эйлером при изучении колебаний мембраны в 1766, т. е. почти за 50 лет до работ Бесселя; функция нулевого порядка встречается ещё раньше в работе Д. Бернулли, посвященной колебанию тяжёлой цепи (опубликована в 1738), а функция порядка ¹/₃ в письме Я. Бернулли к Г. Лейбницу (1703).

Если n не является целым числом, то общее решение уравнения (1) имеет вид y = C₁J_n(x) + C₂J_-n(x),     (2)

где C₁ и C₂ — постоянные. Если же n — целое, то J_n(x) и J_-n(x) линейно зависимы, и их линейная комбинация (2) уже не является общим решением уравнения (1). Поэтому, наряду с Цилиндрические функции первого рода, вводят ещё Цилиндрические функции второго рода (называемые также функциями Вебера):

  При помощи этих функций общее решение уравнения (1) может быть записано в виде у = C₁J_n(x) + C₂Y_n(x)

(как при целом, так и при нецелом n). В приложениях встречается также Цилиндрические функции мнимого аргумента  

и

(функция Макдональда). Эти функции удовлетворяют уравнению

общее решение которого имеет вид y = C₁l_n(x) + C₂K_n(x)

(как при целом, так и нецелом n). Часто употребляются ещё Цилиндрические функции третьего рода (или функции Ганкеля) ,

а также функции Томсона ber (х) и bei (x), определяемые соотношением ber (x) + i bei (x) = I₀(x ).

  Важную роль играют асимптотические выражения Цилиндрические функции для больших значений аргумента: , , , ,

из которых, в частности, вытекает, что Цилиндрические функции J_n(x) и Y_n(x) имеют бесконечное множество действительных нулей, расположенных так, что вдали от начала координат они как угодно близки к нулям функций, соответственно,  и

  Цилиндрические функции изучены очень детально и для комплексных значений аргументов. Для вычислений существует большое число таблиц Цилиндрические функции

 

  Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, 8 изд., т. 3, ч. 2, М., 1969; Никифоров А. Ф., Уваров В. Б., Основы теории специальных функций, М., 1974; Ватсон Г. Н., Теория бесселевых функций, пер. с англ., ч. 1—2, М., 1949; Бейтмен Г., Эрдей А., Высшие трансцендентные функции, пер. с англ., 2 изд., т. 2, М., 1974.