Двойное отношение (сложное, или ангармоническое) четырёх точек M₁, M₂, М_з, M₄ на прямой (рис. 1), число, обозначаемое символом (M₁M₂M₃M₄) и равное

Рис. 1 к ст. Двойное отношение.

  При этом отношение M₁M₃/M₃M₂ считается положительным, если направления отрезков M₁M₃ и M₃M₂ совпадают, и — отрицательным при различных направлениях. Двойное отношение зависит от порядка нумерации точек, который может отличаться от порядка следования точек на прямой. Наряду с Двойное отношение четырёх точек, рассматривается Двойное отношение четырёх прямых, проходящих через точку О. Это отношение обозначается символом (m₁m₂m₃m₄). Оно равно

причём угол (m_im_j) между прямыми m_iи m_j) рассматривается со знаком.

  Если точки M₁, M₂, М_з, M₄ лежат на прямых m₁, m₂, m₃, m₄ (рис. 1), то (M₁M₂M₃M₄) = (m₁m₂m₃m₄),

поэтому, если точки M₁, M₂, М_з, M₄ и M’₁, M₂’, М_з’, M₄’ получены пересечением одной четвёрки прямых m₁, m₂, m₃, m₄ (рис. 1), то (M₁’, M₂’, М_з’, M₄’) = (M₁M₂M₃M₄).

Если же прямые m₁, m₂, m₃, m₄ и m₁’, m₂’, m_з’, m₄’ проектируют одну четвёрку точек M₁, M₂, М_з, M₄ (рис. 2), то (m₁’ m₂’ m_з’ m₄’) = (m₁m₂m₃m₄).

Рис. 2 к ст. Двойное отношение.

Двойное отношение не меняется также и при любых проективных преобразованиях, т. е. является инвариантом таких преобразований, и поэтому Двойное отношение играют важную роль в проективной геометрии. Особенно важную роль играют четвёрки точек и прямых, для которых Двойное отношение равно — 1. Такие четвёрки называют гармоническими (см. Гармоническое расположение.).

  Э. Г. Позняк.