Изопериметрические задачи (от изо... и периметр), класс задач вариационного исчисления. Простейшие Изопериметрические задачи (нахождение треугольников и многоугольников заданного периметра, имеющих наибольшую площадь; нахождение замкнутой кривой заданной длины, ограничивающей максимальную площадь; определение замкнутой поверхности заданной площади, ограничивающей наибольший объём, и т. п.) были известны древнегреческим учёным (Архимед, Зенодор и др.). Общее изучение Изопериметрические задачи началось в 1697, когда Я. Бернулли опубликовал поставленную и частично решенную им Изопериметрические задачи: среди всех кривых данной длины найти кривую, для которой некоторая величина, зависящая от кривой, достигает минимума или максимума. Систематическое исследование Изопериметрические задачи было впервые проведено в 1732 Л. Эйлером. Пример Изопериметрические задачи: среди кривых данной длины l, проходящих через точки А и B, найти кривую, для которой площадь криволинейной трапеции (заштрихована на рис.) была бы наибольшей. Площадь криволинейной трапеции равна                     (1)

Рис. к статье Изопериметрические задачи.

длина дуги                  (2)

Следовательно, задача сводится к нахождению наибольшего значения интеграла (1) при наличии условий (2). Оказывается, что искомая кривая — дуга окружности.

 

  Лит.: Лаврентьев М. А., Люстерник Л. А., Курс вариационного исчисления, 2 изд., М. — Л., 1950.