Комплексные числа, числа вида х + iy, где х и у — действительные числа, а i — так называемая мнимая единица (число, квадрат которого равен —1); х называют действительной частью, а у — мнимой частью Комплексные числа z = х +iy (обозначают х =Rez, у=Imz). Действительные числа — частный случай Комплексные числа (при у = 0); Комплексные числа, не являющиеся действительными (у¹ 0), называют мнимыми числами; при х = 0 Комплексные числа Называют чисто мнимым. Комплексные числа z = х+iy и z = х—iy называют комплексно-сопряжёнными. Арифметические действия над Комплексные числа производятся по обычным правилам действий над многочленами с учётом условия i²=—1. Геометрически каждое Комплексные числа х + iy изображается точкой плоскости, имеющей прямоугольные координаты х и у (см. рис.). Если полярные координаты этой точки обозначить через r и j:, то соответствующее Комплексные числа можно представить в виде:

Рис. к ст. Комплексные числа.

  r (cos j + i sin j)

  (тригонометрическая, или полярная, форма Комплексные числа);

   называют модулем Комплексные числа х+iy, а j = arg z — аргументом его. Тригонометрическая форма Комплексные числа особенно удобна для действий возведения в степень и извлечения корня:

  [r (cos j + i sin j)] ⁿ= rⁿ (cos nj + i sin nj),

  , в частности

  , k = 0, 1, …, n—1

По своим алгебраическим свойствам совокупность Комплексные числа образует поле. Это поле алгебраически замкнуто, т. е. любое уравнение xⁿ + a₁x^n-1+...+a_n =0; где a₁,..., a_n — Комплексные числа, имеет (при учёте кратности) среди Комплексные числа точно n корней.

  Уже в древности математики сталкивались в процессе решения некоторых задач с извлечением квадратного корня из отрицательных чисел; в этом случае задача считалась неразрешимой. Когда же в 1-й половине 16 в. были найдены формулы для решения кубических уравнений, оказалось, что в так называемом неприводимом случае действительные корни уравнений с действительными коэффициентами получаются в результате действий над Комплексные числа Это содействовало признанию Комплексные числа Первое обоснование простейших действий с Комплексные числа встречается у Р. Бомбелли в 1572. Однако долгое время к Комплексные числа относились, как к чему-то сверхъестественному. Так, Г. Лейбниц в 1702 писал: «Мнимые числа — это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием». В 1748 Л. Эйлер нашёл замечательную формулу e^ij = cosj + isinj, явившуюся первым важным результатом теории функций комплексного переменного, но истинный характер Комплексные числа выяснился лишь к концу 18 в., когда была открыта их геометрическая интерпретация (см. выше). Термин «Комплексные числа» предложен К. Гауссом в 1831. Введение Комплексные числа делает многие математические рассмотрения более единообразными и ясными и является важным этапом в развитии понятия о числе (см. Число). Комплексные числа Употребляются теперь при математическом описании многих вопросов физики и техники (в гидродинамике, аэромеханике, электротехнике, атомной физике и т.д.). Основные разделы классического математического анализа приобретают полную ясность и законченность только при использовании Комплексные числа, чем обусловливается центральное место, занимаемое теорией функций комплексного переменного. См. Аналитические функции.

 

  Лит.: Маркушевич А. И., Комплексные числа и конформные отображения, 2 изд., М., 1960; Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 9 изд., М., 1968.