Линейная зависимость (матем.), соотношение вида

  C₁₁u₁ + C₂u₂ + ... + C_nu_n = 0, (*)

  где С₁, C₂, ..., C_n — числа, из которых хотя бы одно отлично от нуля, а u₁, u₂, ..., u_n — те или иные матем. объекты, для которых определены операции сложения и умножения на число. В соотношение (*) объекты u₁, u₂, ..., u_n входят в 1-й степени, т. е. линейно; поэтому описываемая этим соотношением зависимость между ними называется линейной. Знак равенства в формуле (*) может иметь различный смысл и в каждом конкретном случае должен быть разъяснён. Понятие Линейная зависимость употребляется во многих разделах математики. Так, можно говорить о Линейная зависимость между векторами, между функциями от одного или нескольких переменных, между элементами линейного пространства и т. д. Если между объектами u₁, u₂, ..., u_n имеется Линейная зависимость, то говорят, что эти объекты линейно зависимы; в противном случае их называется линейно независимыми. Если объекты u₁, u₂, ..., u_n линейно зависимы, то хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных, т. е.

  u₁ = a ₁u₁ + ... + a _i-1u_i-1 + a _i+1u_i+1 + ... + a _nu_n.

Непрерывные функции от одного переменного

  u₁ = j ₁(х), u₂ = j ₂(х), ..., u_n = j _n(x) называются линейно зависимыми, если между ними имеется соотношение вида (*), в котором знак равенства понимается как тождество относительно х. Для того чтобы функции j ₁(x), j ₂(x), ..., j _n(x), заданные на некотором отрезке а £ х £ b, были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы обращался в нуль их определитель Грама

 

  где

   

  i, k = 1,2, ..., n.

  Если же функции j₁ (x), j₂(x), ..., j_n(x) являются решениями линейного дифференциального уравнения, то для существования Линейная зависимость между ними необходимо и достаточно, чтобы вронскиан обращался в нуль хотя бы в одной точке.

  Линейные формы от m переменных

  u₁ = a_i1x₁ + a_i2x₂ + ... + a_imx_m

(i = 1, 2, ..., n)

  называются линейно зависимыми, если существует соотношение вида (*), в котором знак равенства понимается как тождество относительно всех переменных x₁, x₂, ..., x_m. Для того чтобы n линейных форм от n переменных были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы обращался в нуль определитель

D=