Логарифм числа N по основанию а, показатель степени m, в которую следует возвести число а (основание Логарифм), чтобы получить N; обозначается log_aN. Итак, m = log_aN, если а^м = N. Например, log₁₀ 100 = 2; log₂¹/₃₂ = 5; log_a 1 = 0, т. к. 100 = 10², ¹/₃₂ = 2^-5, 1 = a⁰. При отрицательных а бесконечно много положительных чисел не имело бы действительных логарифмов, поэтому берётся а > 0 и а ¹ 1. Из свойств логарифмической функции вытекает, что каждому положительному числу соответствует при данном основании единств. действительный Логарифм (логарифмы отрицательных чисел являются комплексными числами). Основные свойства Логарифм:

  log_a(MN) = log_aM + log_aN;

  log_aM/N = log_aM log_aN;

  log_aN^k = k log_aN;

  log_alog_aN

  позволяют сводить умножение и деление чисел к сложению и вычитанию их Логарифм, а возведение в степень и извлечение корня — к умножению и делению Логарифм на показатель степени или корня, т. е. к более простым действиям.

  Когда основание а фиксировано, говорят об определённой системе Логарифм В соответствии с десятичным характером нашего счёта наиболее употребительны десятичные Логарифм (а = 10), обозначаемые lg N. Для рациональных чисел, отличных от 10^k с целым k, десятичные Логарифм суть трансцендентные числа, которые приближённо выражают в десятичных дробях. Целую часть десятичного Логарифм наз. характеристикой, дробную — мантиссой. Так как lg(10^kN) = k + lgN, то десятичные Логарифм чисел, отличающихся множителем 10^k, имеют одинаковые мантиссы и различаются лишь характеристиками. Это свойство лежит в основе построения таблиц Логарифм, которые содержат лишь мантиссы Логарифм целых чисел (см. Логарифмические таблицы).

Большое значение имеют также натуральные Логарифм, основанием которых служит трансцендентное число e = 2,71828...; их обозначают lnN. Переход от одного основания Логарифм к другому совершается по формуле log_bN = log_aN/log_ab, множитель 1/log_ab называется модулем перехода (перевода) от основания а к основанию b. Для перехода от натуральных Логарифм к десятичным или обратно имеем

  lnN = IgN/lge, lgN = InN/ln10;

  1/lge = 2,30258; 1/ln10 = 0,43429....

  Историческая справка. Открытие Логарифм было связано в первую очередь с быстрым развитием астрономии в 16 в., уточнением астрономических наблюдений и усложнением астрономических выкладок. Авторы первых таблиц Логарифм исходили из зависимости между свойствами геометрической прогрессии и составленной из показателей степени её членов арифметической прогрессии. Эти зависимости, частично подмеченные ещё Архимедом (3 в. до н. э.), были хорошо известны Н. Шюке (1484) и немецкому математику М. Штифелю (1544). Первые логарифмические таблицы были составлены одновременно и независимо друг от друга Дж. Непером (1614, 1619) и швейцарским математиком И. Бюрги (1620). Важный шаг в теоретическом изучении Логарифм сделал бельгийский математик Григорий из Сен-Винцента (1647), обнаруживший связь Логарифм и площадей, ограниченных дугой гиперболы, осью абсцисс и соответствующими ординатами. Представление Логарифм бесконечным степенным рядом дано Н. Меркатором (1668), нашедшим, что

  In(1+x) = x

  Вскоре затем Дж. Грегори (1668) открыл разложение

  ln.

  Этот ряд очень быстро сходится, если М = N + 1 и N достаточно велико; поэтому он может быть использован для вычисления Логарифм В развитии теории Логарифм большое значение имели работы Логарифм Эйлера. Им установлено понятие о логарифмировании как действии, обратном возведению в степень.

  Термин «Логарифм» предложил Дж. Непер; он возник из сочетания греческих слов logos (здесь — отношение) и arithmos (число); в античной математике квадрат, куб и т. д. отношения а/b называются «двойным», «тройным» и т. д. отношением. Т. о., для Непера слова «lógu arithmós» означали «число (кратность) отношения», то есть Логарифм у Дж. Непера — вспомогательное число для измерения отношения двух чисел. Термин «натуральный логарифм» принадлежит Н. Меркатору, «характеристика» — английскому математику Г. Бригсу, «мантисса» в нашем смысле — Логарифм Эйлеру, «основание» Логарифм — ему же, понятие о модуле перехода ввёл Н. Меркатор. Современное определение Логарифм впервые дано английским математиком В. Гардинером (1742). Знак Логарифм — результат сокращения слова «Логарифм» — встречается в различных видах почти одновременно с появлением первых таблиц [напр., Log — у И. Кеплера (1624) и Г. Бригса (1631), log и 1. — Б. Кавальери (1632, 1643)].

 

  Лит.: Маркушевич А. И., Площади и логарифмы, М. — Логарифм, 1952; История математики, т. 2, М., 1970.