Логарифмическая функция,функция, обратная к показательной функции. Логарифмическая функция обозначается

  y = lnx; (1)

  её значение y, соответствующее значению аргумента х, называется натуральным логарифмом числа х. В силу определения соотношение (1) равносильно

  х = е^у (2)

  (е — неперово число). Т. к. e^y > 0 при любом действительном у, то Логарифмическая функция определена только при х > 0. В более общем смысле Логарифмическая функция называют функцию

  y = log_aX,

  где а > 0 (а ¹ 1) — произвольное основание логарифмов. Однако в математическом анализе особое значение имеет функция InX; функция log_aX приводится к ней по формуле:

  log_ax = MInX,

  где М = 1/In а. Логарифмическая функция — одна из основных элементарных функций; её график (рис. 1) носит название логарифмики. Основные свойства Логарифмическая функция вытекают из соответствующих свойств показательной функции и логарифмов; например, Логарифмическая функция удовлетворяет функциональному уравнению

Рис. 1 к ст. Логарифмическая функция.

  Inx+lny = lnxy.

  Для 1 < х , 1 справедливо разложение Логарифмическая функция в степенной ряд:

  ln(1 + x) = x

  Многие интегралы выражаются через Логарифмическая функция; например

  ,

  .

  Логарифмическая функция постоянно встречается в математическом анализе и его приложениях.

  Логарифмическая функция была хорошо известна математикам 17 в. Впервые зависимость между переменными величинами, выражаемая Логарифмическая функция, рассматривалась Дж. Непером (1614). Он представил зависимость между числами и их логарифмами с помощью двух точек, движущихся по параллельным прямым (рис. 2). Одна из них (У) движется равномерно, исходя из С, а другая (X), начиная движение из А, перемещается со скоростью, пропорциональной её расстоянию до В. Если положить СУ = у, ХВ = х, то, согласно этому определению, dx/dy = kx, откуда .

  Логарифмическая функция на комплексной плоскости является многозначной (бесконечнозначной) функцией, определённой при всех значениях аргумента z ¹ 0 обозначается Lnz. Однозначная ветвь этой функции, определяемая как

  Inz = In½z½+ i arg z,

Рис. 2 к ст. Логарифмическая функция.

  где arg z — аргумент комплексного числа z, носит название главного значения Логарифмическая функция Имеем

  Lnz = lnz + 2kpi, k = 0, ±1, ±2, ...

  Все значения Логарифмическая функция для отрицательных: действительных z являются комплексными числами. Первая удовлетворительная теория Логарифмическая функция в комплексной плоскости была дана Л. Эйлером (1749), который исходил из определения

  .