Трансцендентное число

Большая Советская Энциклопедия. Статьи для написания рефератов, курсовых работ, научные статьи, биографии, очерки, аннотации, описания.


А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я 1 2 3 4 8 A L M P S T X
ТА ТБ ТВ ТЕ ТЁ ТИ ТК ТЛ ТМ ТО ТР ТС ТУ ТХ ТЦ ТЧ ТШ ТЫ ТЬ ТЭ ТЮ ТЯ
ТРА
ТРД
ТРЕ
ТРЁ
ТРИ
ТРН
ТРО
ТРП
ТРУ
ТРШ
ТРЮ
ТРЯ

Трансцендентное число число (действительное или мнимое), не удовлетворяющее никакому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами. Таким образом, Трансцендентное число противопоставляются алгебраическим числам. Существование Трансцендентное число впервые установил Ж. Лиувилль (1844). Отправной точкой для Лиувилля служила его теорема, согласно которой порядок приближения рациональной дроби с данным знаменателем к данному иррациональному алгебраическому числу не может быть произвольно высоким. Именно, если алгебраическое число а удовлетворяет неприводимому алгебраическому уравнению степени n с целыми коэффициентами, то для любого рационального числа  должно выполняться неравенство  (с зависит только от a). Поэтому, если для заданного иррационального числа a можно указать бесконечное множество рациональных приближений, не удовлетворяющих приведённому неравенству ни при каких с и n (одних и тех же для всех приближений), то a есть Трансцендентное число Пример такого числа даёт:

 

  Другое доказательство существования Трансцендентное число дал Г. Кантор (1874), заметив, что множество всех алгебраических чисел счётно (то есть все алгебраические числа могут быть перенумерованы; см. Множеств теория), тогда как множество всех действительных чисел несчётно. Отсюда следовало, что множество Трансцендентное число несчётно, и далее, что Трансцендентное число составляют основную массу среди множества всех чисел.

  Важнейшая задача теории Трансцендентное число — это выяснение того, являются ли Трансцендентное число значения аналитических функций, обладающих теми или иными арифметическими и аналитическими свойствами при алгебраических значениях аргумента. Задачи этого рода принадлежат к числу труднейших задач современной математики. В 1873 Ш. Эрмит доказал, что неперово число является трансцендентным.

  В 1882 немецкий математик Ф. Линдеман получил более общий результат: если aалгебраическое число, то е a— Трансцендентное число Результат Липдемана был значительно обобщён немецким математиком К. Зигелем (1930), доказавшим, например, трансцендентность значения широкого класса цилиндрических функций при алгебраических значениях аргумента. В 1900 на математическом конгрессе в Париже Д. Гильберт среди 23 нерешенных проблем математики указал на следующую: является ли трансцендентным числом ab, где a и b — алгебраические числа, причём bиррациональное число, и, в частности, является ли трансцендентным число , е p (проблема трансцендентности чисел вида ab была впервые в частной форме поставлена Л. Эйлером, 1744). Полное решение этой проблемы (в утвердительном смысле) удалось получить лишь в 1934 А. О. Гельфонду. Из открытия Гельфонда, в частности, следует, что все десятичные логарифмы натуральных чисел (то есть «табличные логарифмы») суть Трансцендентное число Методы теории Трансцендентное число прилагаются к ряду вопросов решения уравнений в целых числах.

 

  Лит.: Гельфонд А. О., Трансцендентные и алгебраические числа, М., 1952.

 

Так же Вы можете узнать о...


Белобородов Александр Георгиевич [14(26).10.
Диспергирование (от лат. dispergo — рассеиваю, рассыпаю), тонкое измельчение твёрдых тел и жидкостей в окружающей среде, приводящее к образованию дисперсных систем; порошков, суспензий, эмульсий.
Курсанов Лев Иванович [25.1(6.2).1877, Озябликово, ныне Вачского района Горьковской области, — 11.
Павезе Чезаре Павезе (Pavese) Чезаре (9.9.1908, Санто-Стефано-Бельбо, Пьемонт, — 27.
Сомали (государство) Сомали, Сомалийская Демократическая Республика (СДР), государство на северо-востоке Африки, на полуострове Сомали.
Шабака (тронное имя — Нефер-ка-Ра), египетский фараон около 716—701 до н.
Бухарест (столица Румынии) Бухарест, Букурешти (Bucureşti), столица Социалистической Республики Румынии, политико-административный, экономический и научно-культурный центр страны.
Зейдельман Карл Зейдельман (Seydelmann) Карл (24.4.1793, Глац, ныне Клодзко, Польша, — 17.
Львовский музей украинского искусства, крупное собрание украинского изобразительного и декоративно-прикладного искусства, в том числе народного.
Подборщик, рабочий орган с.-х. машины для подбора скошенных и уложенных в валки стеблей с.
Талса (Tulsa), город в США, в штате Оклахома, на р.
Эрмосильо (Hermosillo), город на северо-западе Мексики.
Волькер Йиржи Волькер (Wolker) Йиржи (29.3.1900, г. Простеёв, — 3.
Каирский университет, основан в 1908 на частные средства.
Метрическое стихосложение, квантитативное стихосложение, стихосложение, основанное на упорядоченном чередовании долгих и кратких слогов.
Пуэрто-Плата (Puerto Plata), город в Доминиканской Республике, административный центр провинции .
Тура (река) Тура, Долгая, река в Свердловской и Тюменской областях РСФСР, левый приток р.