Показательная функция, экспоненциальная функция, важная элементарная функция

Рис. к ст. Показательная функция.

f (z) = e^z,

обозначается иногда expz; встречается в многочисленных приложениях математики к естествознанию и технике. Для любого значения z (действительного или комплексного) Показательная функция определяется соотношением ;

Очевидно, что e⁰= 1; при n = 1 значение Показательная функция равно е — основанию натуральных логарифмов. Показательная функция обладает следующими основными свойствами:  и

при любых значениях z₁ и z₂, кроме того, на действительной оси (рис.) Показательная функция e^x> 0 и при n ®¥возрастает быстрее любой степени х, а при х ® -¥убывает быстрее любой степени 1/x: , ,

каков бы ни был показатель n. Функцией, обратной по отношению к Показательная функция, является логарифмическая функция: если w = e^z, то z = lnw.

Рассматривается также Показательная функция a^z при основаниях а > 0, отличных от е [например, в школьном курсе математики для действительных значений z = х рассматриваются Показательная функция 2^x, (¹/₂) ^x и т.д.]. Показательная функция a^zсвязана с Показательная функция e^z (основной) соотношением a^z = e^zlna.

  Показательная функция e^x является целой трансцендентной функцией. Она допускает следующее разложение в степенной ряд: ,     (1)

сходящийся во всей плоскости z. Равенство (1) также может служить определением Показательная функция

  Полагая z = х + iy, Л. Эйлер получил (1748) формулу:

e^z= e^x+iy = e^x (cosy + isiny),     (2)

связывающую Показательная функция с тригонометрическими функциями. Из неё вытекают соотношения: , .

Функции  ch y,  = sh y

называются гиперболическими функциями, обладают рядом свойств, сходных со свойствами тригонометрических функций, и играют наряду с последними важную роль в различных приложениях математики.

  Из соотношения (2) следует, что Показательная функция (комплексного переменного z) имеет период 2pi, то есть e^z+2pi= e^zили e^2pi= 1. Производная Показательная функция равна самой функции: (e^z)' = e^z.

Указанными свойствами Показательная функция определяются её многочисленные приложения. В частности, Показательная функция выражает закон (т. н. закон естественного роста), определяющий течение процессов, скорость которых пропорциональна наличному значению изменяющейся величины; примером могут служить химические мономолекулярные реакции или, при известных условиях, рост колоний бактерий. Периодичность Показательная функция комплексного переменного наряду с другими её свойствами является причиной, по которой эта функция играет исключительно важную роль при изучении всяких периодических процессов, в частности колебаний и распространения волн.