Многочлен, полином, выражение вида Ax^ky^l…..w^m + Bxⁿy^p…..w^q + …… + Dx^rt^s…..w^t,

где х, у, ..., w — переменные, а А, В, ..., D (коэффициенты Многочлен) и k, l, ..., t (показатели степеней — целые неотрицательные числа) — постоянные. Отдельные слагаемые вида Ах^ky^l…..w^mназываются членами Многочлен Порядок членов, а также порядок множителей в каждом члене можно менять произвольно; точно так же можно вводить или опускать члены с нулевыми коэффициентами, а в каждом отдельном члене — степени с нулевыми показателями. В случае, когда Многочлен имеет один, два или три члена, его называют одночленом, двучленом или трёхчленом. Два члена Многочлен называются подобными, если в них показатели степеней при одинаковых переменных попарно равны. Подобные между собой члены А'х^ky^l…..w^m, B'x^ky^l…..w^m, ….., D'x^ky^l…..w^m

можно заменить одним (приведение подобных членов). Два Многочлен называются равными, если после приведения подобных все члены с отличными от нуля коэффициентами оказываются попарно одинаковыми (но, может быть, записанными в разном порядке), а также если все коэффициенты этих Многочлен оказываются равными нулю. В последнем случае Многочлен называется тождественным нулём и обозначают знаком 0. Многочлен от одного переменного х можно всегда записать в виде P(x) = a₀xⁿ+ a₁x^n-1 + ... + a_n-1x+ a_n,

где a₀, a₁,..., a_n — коэффициенты.

  Сумму показателей степеней какого-либо члена Многочлен называют степенью этого члена. Если Многочлен не тождественный нуль, то среди членов с отличными от нуля коэффициентами (предполагается, что все подобные члены приведены) имеются один или несколько наибольшей степени; эту наибольшую степень называют степенью Многочлен Тождественный нуль не имеет степени. Многочлен нулевой степени сводится к одному члену А (постоянному, не равному нулю). Примеры: xyz + х + у + z есть многочлен третьей степени, 2x + у — z + 1 есть многочлен первой степени (линейный Многочлен), 5x² — 2x² — 3х² не имеет степени, т. к. это тождественный нуль. Многочлен, все члены которого одинаковой степени, называется однородным Многочлен, или формой; формы первой, второй и третьей степеней называются линейными, квадратичными, кубичными, а по числу переменных (два, три) двоичными (бинарными), тройничными (тернарными) (например, x² + y² + z² — ху — yz — xz есть тройничная квадратичная форма).

  Относительно коэффициентов Многочлен предполагается, что они принадлежат определённому полю (см. Поле алгебраическое), например полю рациональных, действительных или комплексных чисел. Выполняя над Многочлен действия сложения, вычитания и умножения на основании переместительного, сочетательного и распределительного законов, получают снова Многочлен Таким образом, совокупность всех Многочлен с коэффициентами из данного поля образует кольцо (см. Кольцо алгебраическое) — кольцо многочленов над данным полем; это кольцо не имеет делителей нуля, т. е. произведение Многочлен, не равных 0, не может дать 0.

  Если для двух многочленов Р(х) и Q(x) можно найти такой многочлен R(x), что Р = QR, то говорят, что Р делится на Q; Q называется делителем, a R — частным. Если Р не делится на Q, то можно найти такие многочлены Р(х) и S(x), что Р = QR + S, причём степень S(x) меньше степени Q(x).

  Посредством повторного применения этой операции можно находить наибольший общий делитель Р и Q, т. е. такой делитель Р и Q, который делится на любой общий делитель этих многочленов (см. Евклида алгоритм). Многочлен, который можно представить в виде произведения Многочлен низших степеней с коэффициентами из данного поля, называется приводимым (в данном поле), в противном случае — неприводимым. Неприводимые Многочлен играют в кольце Многочлен роль, сходную с простыми числами в теории целых чисел. Так, например, верна теорема: если произведение PQ делится на неприводимый многочлен R, a P на R не делится, то тогда Q должно делиться на R. Каждый Многочлен степени, большей нуля, разлагается в данном поле в произведение неприводимых множителей единственным образом (с точностью до множителей нулевой степени). Например, многочлен x⁴ + 1, неприводимый в поле рациональных чисел, разлагается на два множителя

в поле действительных чисел и на четыре множителя  в поле комплексных чисел. Вообще каждый Многочлен от одного переменного х разлагается в поле действительных чисел на множители первой и второй степени, в поле комплексных чисел — на множители первой степени (основная теорема алгебры). Для двух и большего числа переменных этого уже нельзя утверждать; например, многочлен x³ + yz² + z³ неприводим в любом числовом поле.

  Если переменным х, у, ...,w придать определённые числовые значения (например, действительные или комплексные), то Многочлен также получит определённое числовое значение. Отсюда следует, что каждый Многочлен можно рассматривать как функцию соответствующих переменных. Эта функция непрерывна и дифференцируема при любых значениях переменных; её можно характеризовать как целую рациональную функцию, т. е. функцию, получающуюся из переменных и некоторых постоянных (коэффициентов) посредством выполненных в определённом порядке действий сложения, вычитания и умножения. Целые рациональные функции входят в более широкий класс рациональных функций, где к перечисленным действиям присоединяется деление: любую рациональную функцию можно представить в виде частного двух Многочлен Наконец, рациональные функции содержатся в классе алгебраических функций.

К числу важнейших свойств М. относится то, что любую непрерывную функцию можно с произвольно малой ошибкой заменить Многочлен (теорема Вейерштрасса; точная её формулировка требует, чтобы данная функция была непрерывна на каком-либо ограниченном, замкнутом множестве точек, например на отрезке числовой оси). Этот факт, доказываемый средствами математического анализа, даёт возможность приближённо выражать Многочлен любую связь между величинами, изучаемую в каком-либо вопросе естествознания и техники. Способы такого выражения исследуются в специальных разделах математики (см. Приближение и интерполирование функций, Наименьших квадратов метод).

В элементарной алгебре многочленом иногда называются такие алгебраические выражения, в которых последним действием является сложение или вычитание, например

 

  Лит. : Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 9 изд., Многочлен, 1968; Мишина А. П., Проскуряков И. В., Высшая алгебра, 2 изд., Многочлен, 1965.

  А. И. Маркушевич.