Кольцо алгебраическое, одно из основных понятий современной алгебры. Простейшими примерами Кольцо алгебраическое могут служить указанные ниже системы (множества) чисел, рассматриваемые вместе с операциями сложения и умножения: 1) множество всех целых положительных, отрицательных чисел и нуля; 2) множество всех чётных чисел и вообще целых чисел, кратных данному числу n, 3) множество всех рациональных чисел. Общим в этих трёх примерах является то, что сложение и умножение чисел, входящих в систему, не выводят за пределы системы (следует отметить, что и вычитание не выводит за пределы системы). В различных областях математики часто приходится иметь дело с разнообразными множествами (они могут состоять, например, из многочленов или матриц, см. примеры 7 и 9), над элементами которых можно производить две операции, весьма похожие по своим свойствам на сложение и умножение обычных чисел. Предметом теории Кольцо алгебраическое является изучение свойств обширного класса такого рода множеств.

  Кольцом называют непустое множество R, для элементов которого определены две операции — сложение и умножение, сопоставляющие любым двум элементам а, b из R, взятым в определённом порядке, один элемент а + b из R — их сумму и один элемент ab из R — их произведение, причём предполагаются выполненными следующие условия (аксиомы Кольцо алгебраическое):

I.     Коммутативность сложения:

а+b=b+ а.

II.   Ассоциативность сложения:

а + (b + с) = (а + b) + с.

III. Обратимость сложения (возможность вычитания): уравнение а + х = b допускает решение х = b—a.

IV. Дистрибутивность: а (b + с) = ab+ac, (b + с) а = ba + са.

Перечисленные свойства показывают, что элементы Кольцо алгебраическое образуют коммутативную группу относительно сложения. Дальнейшими примерами Кольцо алгебраическое могут служить множества; 4) всех действительных чисел; 5) всех комплексных чисел; 6) комплексных чисел вида a + bi с целыми а, b; 7) многочленов от одного переменного х с рациональными, действительными или комплексными коэффициентами; 8) всех функций, непрерывных на данном отрезке числовой прямой; 9) всех квадратных матриц порядка n с действительными (или комплексными) элементами; 10) всех кватернионов; 11) всех чисел Кэли — Диксона, то есть выражений вида a + bе, где a,b — кватернионы, е — буква; сложение и умножение чисел Кэли — Диксона определяются равенствами (a + bе) + (a₁ + b₁e) = (a + a₁) + (b + b₁) e, (a + bе)(a₁ + b₁e) = (aa₁ — b₁) + (aa₁ + b) e, где  — кватернион, сопряжённый к a; 12) всех симметрических матриц порядка n с действительными элементами относительно операций сложения матриц и «йорданового» умножения а·b =(аb + ba); 13) векторов трёхмерного пространства при обычном сложении и векторном умножении.

  Во многих случаях на умножение в Кольцо алгебраическое налагаются дополнительные ограничения. Так, если а (bc) = (ab) c, то Кольцо алгебраическое называют ассоциативным (примеры 1—10); если в Кольцо алгебраическое выполняются равенства (aa) b = a (ab), (ab) b = a (bb), то оно называется альтернативным кольцом (пример 11); если в Кольцо алгебраическое выполняются равенства ab = ba, (ab) (аа) = ((аа) b) a, то оно называется йордановым кольцом (пример 12); если в Кольцо алгебраическое выполняются равенства а (bc) + b (ca) + с (аb) = 0, a² = 0, то оно называется кольцом Ли (пример 13); если ab = ba, то Кольцо алгебраическое называют коммутативным (примеры 1—8, 12). Операции сложения и умножения в Кольцо алгебраическое во многом похожи по своим свойствам на соответствующие операции над числами. Так, элементы Кольцо алгебраическое можно не только складывать, но и вычитать; существует элемент 0 (нуль) с обычными свойствами; для любого элемента а существует противоположный, т. е. такой элемент —а, что а + (—a) = 0; произведение любого элемента на элемент 0 всегда равно нулю. Однако на примерах 8—9, 12—13 можно убедиться, что Кольцо алгебраическое может содержать отличные от нуля элементы а, b, произведение которых равно нулю: ab = 0; такие элементы называют делителями нуля. Ассоциативное коммутативное Кольцо алгебраическое без делителей нуля называют областью целостности (примеры 1—7). Так же, как и в области целых чисел, не во всяком Кольцо алгебраическое возможно деление одного элемента на другой, если же это возможно, то есть если всегда разрешимы уравнения ax = b и уа = b при а¹0, то Кольцо алгебраическое называют телом (примеры 3—5, 10, 11). Ассоциативное коммутативное тело принято называть полем (примеры 3— 5) (см. Поле алгебраическое). Весьма важны для многих отделов алгебры Кольцо алгебраическое многочленов с одним или несколькими переменными над произвольным полем и Кольцо алгебраическое матриц над ассоциативными телами, определяемые аналогично Кольцо алгебраическое примеров 7 и 9. Многие классы Кольцо алгебраическое всё чаще находят приложения и вне алгебры. Важнейшими из них являются: Кольцо алгебраическое функций и Кольцо алгебраическое операторов, сыгравшие большую роль в развитии функционального анализа; альтернативные тела, применяемые в проективной геометрии; так называемые дифференциальные Кольцо алгебраическое и поля, отразившие интересную попытку применить теорию Кольцо алгебраическое к дифференциальным уравнениям.

  При изучении Кольцо алгебраическое большое значение имеют те или иные способы сличения друг с другом различных Кольцо алгебраическое Одним из наиболее плодотворных является гомоморфное отображение (гомоморфизм), т. е. такое однозначное отображение R®R' кольца R на кольцо R', что из а ® a', b ®b' следует а + b® a' +b' и ab®a'b'. Если это отображение также и взаимно однозначное, то оно называется изоморфизмом, а кольца R и R' изоморфными. Изоморфные Кольцо алгебраическое обладают одинаковыми алгебраическими свойствами.

  Множество М элементов кольца R называют подкольцом, если М само является Кольцо алгебраическое относительно операций, определённых в R. Подкольцо М называют левым (правым или двусторонним) идеалом кольца R, если для любых элементов т из М и r из R произведение rm (соответственно mr или как rm, так и mr) лежит в М. Элементы а и b кольца R называют сравнимыми по идеалу М, если а — b принадлежит М. Всё Кольцо алгебраическое разбивается на классы сравнимых элементов — классы вычетов по идеалу М. Если определить сложение и умножение классов вычетов по двустороннему идеалу М через сложение и умножение элементов этих классов, то сами классы вычетов образуют Кольцо алгебраическое — фактор кольцо R/M кольца R по идеалу М. Имеет место теорема о гомоморфизме Кольцо алгебраическое: если каждому элементу Кольцо алгебраическое поставить в соответствие содержащий его класс, то получают гомоморфное отображение кольца R на факторкольцо RM; обратно, если R гомоморфно отображается на R', то множеством элементов из R, отображающихся в нуль кольца R', будет двусторонним идеалом в R, и R' изоморфно R/M.

Среди различных типов Кольцо алгебраическое легче других поддаются изучению и сравнительно чаще находят приложение так называемые алгебры: кольцо R называют алгеброй над полем Р, если для любых a из Р и r из R определено произведение ar также из R, причём (a + b) r = ar + br, a(r + s)=ar + as, (ab) r = a(br), a(rs) = (ar) s = r (as),er = r для любых a, b из Р и r, s из R, где e — единица поля Р. Если все элементы алгебры линейно выражаются через n линейно независимых элементов (см. Линейная зависимость), то R называют алгеброй конечного ранга n, или гиперкомплексной системой (см. Гиперкомплексные числа). Примерами алгебр могут служить комплексные числа (алгебра ранга 2 над полем действительных чисел), полное Кольцо алгебраическое матриц с элементами из поля Р (которое является алгеброй ранга n² над Р), Кольцо алгебраическое примера 10 (алгебра ранга 4 над полем действительных чисел), Кольцо алгебраическое примера 8 и др.

  Для целых чисел и Кольцо алгебраическое многочленов справедлива теорема об однозначной разложимости элемента в произведение простых, т. с. далее не разложимых элементов. Эта теорема верна для любых Кольцо алгебраическое главных идеалов, то есть областей целостности, в которых любой идеал состоит из кратных одного элемента. Частным случаем таких Кольцо алгебраическое являются евклидовы Кольцо алгебраическое, то есть Кольцо алгебраическое, где любому элементу а ¹ 0 соответствует неотрицательное целое число n (a), причём n (ab) ³n (a) и для любых а и b ¹ 0 существуют такие q и r, что а = bq +r и либо n (r)<n (b), либо r = 0. Таковы, например, Кольцо алгебраическое многочленов и Кольцо алгебраическое примеров 1 и 6. Для широкого класса Кольцо алгебраическое верна теорема об однозначном разложении идеала в произведение простых идеалов, хотя для самих элементов она не выполняется. Основы теории разложения идеалов и абстрактных Кольцо алгебраическое были заложены Э. Нётер (в 20-х гг. 20 в.).

  Одним из первых в России теорией Кольцо алгебраическое занимался Е. И. Золотарёв (70-е гг. 19 в.); его исследования относятся к числовым Кольцо алгебраическое, а именно — к теории разложения идеалов в них. В Советском Союзе теория Кольцо алгебраическое разрабатывается в основном в трёх центрах: Москве, Новосибирске и Кишиневе.

 

  Лит.: Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 9 изд., М., 1968; Энциклопедия элементарной математики, кн. 1, М. — Л., 1951; Ван-дер-Варден Б. Л., Современная алгебра, пер. с нем., 2 изд., ч. 1—2, М. — Л.,1947; Джекобсон Н., Строение колец, пер. с англ., М., 1961; Ленг С., Алгебра, пер. с англ., М., 1968.