Степенная функция, функция f (x) = х^а, где а — фиксированное число (см. Степень). При действительных значениях основания х и показателя а обычно рассматривают лишь действительные значения Степенная функция x^a. Они существуют, во всяком случае, для всех х > 0; если а — рациональное число с нечётным знаменателем, то они существуют также для всех х < 0; если же знаменатель рационального числа а чётный, либо если и иррационально, то x^a не имеет действительного значения ни при каком х < 0. При х = 0 степенная функция x^a равна нулю для всех а > 0 и не определена при а < 0; 0° определённого смысла не имеет. Степенная функция (в области действительных значений) однозначна, за исключением тех случаев, когда а — рациональное число, изображаемое несократимой дробью с чётным знаменателем: в этих случаях она двузначна, причём её значения для одного и того же значения аргумента х > 0 равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку. Обычно тогда рассматривается только неотрицательное, или арифметическое, значение Степенная функция Для х > 0 Степенная функция — возрастающая, если а > 0, и убывающая, если а < 0. Степенная функция непрерывна и дифференцируема во всех точках её области определения, за исключением точки х = 0, в случае 0 < а < 1 (когда непрерывность сохраняется, но производная обращается в бесконечность); при этом (x^a)' = ax^a-1. Далее,

Рис. к ст. Степенная функция.

  , при a ¹ -1;

  в любом интервале, содержащемся в области определения подынтегральной функции.

  Функции вида у = cx^a, где с — постоянный коэффициент, играют важную роль в математике и её приложениях; при а = 1 эти функции выражают прямую пропорциональность (их графики — прямые, проходящие через начало координат, см. рис. 1), при а = —1 — обратную пропорциональность (графики — равносторонние гиперболы с центром в начале координат, имеющие оси координат своими асимптотами, см. рис. 2). Многие законы физики математически выражаются при помощи функций вида у = cx^a(см. рис. 3); например, у = cx² выражает закон равноускоренного или равнозамедленного движения (у — путь, х — время, 2c — ускорение; начальные путь и скорость равны нулю).

Рис. к ст. Степенная функция.

  В комплексной области Степенная функция z^a определяется для всех z¹ 0 формулой:

  , (*)

где k = 0, ± 1, ± 2,.... Если а — целое, то Степенная функция z^a однозначна:

  .

Если а — рациональное (а = p/q, где р и q взаимно просты), то Степенная функция z^a принимает q различных значений:

 

где e_k =  — корни степени q из единицы:  и k = 0, 1, …, q 1. Если а — иррациональное, то Степенная функция z^a — бесконечнозначна: множитель e^a2kpi принимает для разных k различные значения. При комплексных значениях а Степенная функция z^a определяется той же формулой (*). Например,

 

  так что, в частности, , где k = 0, ± 1, ± 2,....

  Под главным значением (z^a)₀Степенная функция понимается её значение при k = 0, если —p< argz£p (или 0 £ argz < 2p). Так, (z^a)= |z^a|e^{ia arg z}, (i)₀=e ^-p/2 и т.д.