Субгармонические функции, функции, удовлетворяющие в некоторой области неравенству

.

В случае, когда Df = 0, функция f является гармонической функцией. Понятие Субгармонические функции можно рассматривать как обобщение понятия гармонической функции. При n = 1 условие Df³ 0 принимает вид , то есть Субгармонические функции одного переменного есть выпуклая функция. Поэтому понятие Субгармонические функции можно рассматривать также как распространение понятия выпуклой функции на случай любого числа переменных. Так, например, подобно тому как всякая дуга графика выпуклой функции лежит ниже хорды, соединяющей её концы, всякая ограниченная некоторым контуром часть поверхности z = f (x, y), где f (x, у) — Субгармонические функции двух переменных, лежит ниже проходящей через тот же контур поверхности z = F (x, у), где F (x, у) — гармоническая функция (отсюда название «субгармоническая», то есть «подгармоническая»).

  Приведённое выше определение предполагает, что функция f имеет частные производные второго порядка. От этого ограничения освобождаются, непосредственно выражая отмеченное только что свойство графика Субгармонические функции располагаться ниже графика гармонической функции.

  Супергармонические функции (от лат. super — над) — функции, удовлетворяющие неравенству Df £ 0. Если f — супергармоническая функция, то f есть Субгармонические функции, и наоборот. Классические примеры Субгармонические функции и супергармонических функций: для n = 2 логарифмический потенциал

и для n = 3 объёмный потенциал

(здесь r— плотность масс или зарядов). Функции эти внутри областей G и Т удовлетворяют соответственно уравнениям Пуассона DV = — 2pr и DU = — 4prи, следовательно, являются супергармоническими при r³ 0 и Субгармонические функции при r < 0.

  Субгармонические функции применяются, например, при решении задач математической физики (в частности, в теории потенциала), теории случайных процессов.

 

  Лит.: Привалов И. И., Субгармонические функции, М.—Л., 1937.