Гармонические функции

Большая Советская Энциклопедия. Статьи для написания рефератов, курсовых работ, научные статьи, биографии, очерки, аннотации, описания.


А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я 1 2 3 4 8 A L M P S T X
ГА ГБ ГВ ГД ГЕ ГЁ ГЖ ГЗ ГИ ГЛ ГМ ГН ГО ГП ГР ГС ГУ ГХ ГЫ ГЬ ГЭ ГЮ ГЯ
ГАА
ГАБ
ГАВ
ГАГ
ГАД
ГАЕ
ГАЗ
ГАИ
ГАЙ
ГАК
ГАЛ
ГАМ
ГАН
ГАО
ГАП
ГАР
ГАС
ГАТ
ГАУ
ГАФ
ГАХ
ГАЦ
ГАШ
ГАЭ
ГАЮ
ГАЯ

Гармонические функции, функции от n переменных (n³ 2), непрерывные в некоторой области вместе с частными производными первого и второго порядков и удовлетворяющие в этой области дифференциальному уравнению Лапласа  

  Во многих вопросах физики и механики, где речь идёт о состоянии части пространства, зависящем от положения точки, но не от времени (равновесие, установившееся движение и т. п.), соответствующее состояние представляется Гармонические функции от координат точки. Так, например, потенциал сил тяготения в области, не содержащей притягивающих масс, и потенциал постоянного электрического поля в области, не содержащей электрических зарядов, суть Гармонические функции Точно так же Гармонические функции являются потенциал скоростей установившегося безвихревого движения несжимаемой жидкости, температура тела при условии установившегося распределения тепла, величина прогиба мембраны, натянутой на контур произвольного вида, вообще неплоский (весом мембраны пренебрегают), и т. д.

  Наиболее важны для приложения к физике и механике Гармонические функции от трёх переменных (координат точки). В частном случае, когда область пространства ограничена цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны, например, оси z, причём изучаемое явление протекает одинаковым образом в любой плоскости, перпендикулярной к образующим (т. е. не зависит от координаты z), соответствующие Гармонические функции от трёх переменных превращаются в Гармонические функции от двух переменных х и у. Последние находятся в тесной связи с аналитическими функциямиf (x) от комплексного переменного x = х + iy. А именно каждая Гармонические функции от х и у есть действительная или мнимая часть некоторой функции f (x), и, обратно, действительная и мнимая части любой аналитической функции суть Гармонические функции от x и у. Например, х2—у2 и 2ху, будучи действительной и мнимой частями функции x2 = х2—у2 + 2ixy, суть Гармонические функции Важнейшими задачами теории Гармонические функции являются краевые, или граничные, задачи, в которых требуется найти Гармонические функции внутри области на основании данных, относящихся к поведению функции на границе этой области. Такова задача Дирихле, где Гармонические функции ищется по её значениям, заданным в точках границы области (например, определение температуры внутри тела по температуре на его поверхности, поддерживаемой так, что она зависит только от точки, но не от времени, или определение формы мембраны по виду контура, на который она натянута). Такова также задача Неймана, где Гармонические функции ищется по величине её нормальной производной, заданной на границе области (например, определение температуры внутри тела по заданному на поверхности градиенту температуры или определение потенциала движения несжимаемой жидкости, обтекающей твёрдое тело, на основании того, что нормальные составляющие скоростей частиц жидкости, прилегающих к поверхности тела, совпадают с заданными нормальными составляющими скоростей точек поверхности тела).

  Для решения задач Дирихле, Неймана и др. краевых задач теории Гармонические функции разработаны различные методы, имеющие большое теоретическое значение. Например, для задачи Дирихле известны: альтернирующий метод (Шварца), метод выметания (Пуанкаре), метод интегральных уравнений (Фредгольма), метод верхних и нижних функций (Перрона) и др. При рассмотрении краевых задач для областей общего вида возникают важные вопросы об условиях существования решений, об устойчивости решений при малых изменениях границы области и др. Этим вопросам посвящены работы М. В. Келдыша, М. А. Лаврентьева и др. советских математиков. Весьма большое значение для приложений теории Гармонические функции к задачам физики и техники имеет также разработка методов численного решения краевых задач.

 

  Лит.: Келдыш М. В., О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле, «Успехи математических наук», 1940, в. 8; Сретенский Л. Н., Теория ньютоновского потенциала, М.—Л., 1946; Смирнов В. И., Курс высшей математики, 3 изд., т. 4, М., 1957; Петровский И. Г., Лекции об уравнениях с частными производными, 3 изд., М., 1961.

  А. И. Маркушевич.

Так же Вы можете узнать о...


Мегна, рукав общей дельты рек Ганг и Брахмапутра; см.
Свободная энергия, один из потенциалов термодинамических; то же, что изохорно-изотермический потенциал, или Гельмгольцева энергия.
Электронное зеркало, электрическая или магнитная система, отражающая пучки электронов и предназначенная либо для получения с помощью таких пучков электроннооптических изображений, либо для изменения направления движения электронов.
Греческое письмо, письмо, возникшее из финикийского консонантного письма в 10—8 вв.
Локон Аньези, плоская кривая 3-го порядка; см.
Решетниково, посёлок городского типа в Клинском районе Московской области РСФСР.
Чистополь, город республиканского подчинения, центр ского района Татарской АССР.
Гелофиты (от греч. hélos — болото и phytón — растение), болотные травянистые растения; в большинстве случаев относятся к гигрофитам.
Курелла Альфред Курелла (Kurella) Альфред (псевдоним — В. Циглер, В.
Проксима Центавра, ближайшая к Солнечной системе звезда; находится на расстоянии 1,31 парсека в созвездии Центавра.
Хилл Сьюзн Хилл (Hill) Сьюзн (р. 5.2.1942, Скарборо), английская писательница.
Власть, авторитет, обладающий возможностью подчинять своей воле, управлять или распоряжаться действиями других людей.
Контактное преобразование, преобразование кривых на плоскости (или поверхностей в пространстве), при котором касающиеся кривые (или поверхности) преобразуются в касающиеся же кривые (или поверхности).
Платинит, биметаллическая проволока, состоящая из железо-никелевого сердечника (58% Fe, 42% Ni), покрытого тонким слоем меди (около 30% от общей массы проволоки).
Фатера - Пачини тельца Фатера – Пачини тельца (правильнее Пачини тельца), чувствительные нервные окончания (рецепторы) в организме млекопитающих животных и человека, воспринимающие изменения давления в тканях.