Суммирование

Большая Советская Энциклопедия. Статьи для написания рефератов, курсовых работ, научные статьи, биографии, очерки, аннотации, описания.


А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я 1 2 3 4 8 A L M P S T X
СI СА СБ СВ СГ СД СЕ СЁ СЖ СИ СК СЛ СМ СН СО СП СР СС СТ СУ СФ СХ СЦ СЧ СШ СЪ СЫ СЬ СЭ СЮ СЯ
СУА
СУБ
СУВ
СУГ
СУД
СУЖ
СУЗ
СУИ
СУЙ
СУК
СУЛ
СУМ
СУН
СУО
СУП
СУР
СУС
СУТ
СУУ
СУФ
СУХ
СУЧ
СУШ
СУЩ
СУЫ
СУЭ
СУЮ

Суммирование расходящихся рядов и интегралов, построение обобщённой суммы ряда (соответственно значения интеграла), не имеющего обычной суммы (соответственно значения). Расходящиеся ряды могут получаться при перемножении условно сходящихся рядов, при разложении функций в ряд Фурье, при дифференцировании и интегрировании функциональных рядов и т. д. Часто встречаются расходящиеся ряды и интегралы в теории электромагнитного поля и др. вопросах современной физики. Во многих случаях расходящиеся ряды и интегралы можно просуммировать, то есть найти для них сумму (значение) в обобщённом смысле, обладающую некоторыми из основных свойств обычной суммы (значения) сходящегося ряда (интеграла). Обычно требуется, чтобы из того, что ряд  суммируется к S, а ряд  суммируется к Т, следовало, что ряд   суммируется к lS + lT, а ряд  суммируется к S — ао. Кроме того, чаще всего рассматриваются регулярные методы Суммирование, то есть методы, суммирующие каждый сходящийся ряд к его обычной сумме. В большинстве методов Суммирование расходящийся ряд рассматривается в известном смысле как предел сходящегося ряда. А именно, каждый член ряда           (1)

умножается на некоторый множитель ln (t) так, чтобы после умножения получился сходящийся ряд  (2)

с суммой d(t). При этом множители ln (t) выбираются так, чтобы при каждом фиксированном n предел ln (t) при некотором непрерывном или дискретном изменении параметра t равнялся 1. Тогда члены ряда (2) стремятся к соответствующим членам ряда (1). Если при этом d(t) имеет предел, то его называют обобщённой суммой данного ряда, соответствующей данному выбору множителей (данному методу Суммирование). Например, если положить ln (t) = 1 При n£t и ln (t) = 0 при n > t  и брать t ®¥, то получится обычное понятие суммы ряда; при ln (t) = tn для t < 1 и          t® 1 получается метод Абеля — Пуассона. Часто указывается не результат умножения членов ряда на ln (t), а соответствующие изменения частичных сумм ряда. Например, в методе средних арифметических Чезаро полагают ,

где , .

Этот метод соответствует выбору ln (m) = (m n + 1)/(m + 1) при n£m и ln (m) = 0 при n>m. Если положить , , , ,

и если существует , то говорят, что ряд суммируется к А методом Чезаро k-го порядка. С ростом k возрастает сила метода Чезаро, то есть расширяется множество рядов, суммируемых этим методом. Всякий ряд, суммируемый методом Чезаро какого-либо порядка, суммируется и методом Абеля — Пуассона и притом к той же сумме. Например, ряд 1— 1 + 1 —... + (—1) n-1 +... суммируется методом Абеля — Пуассона к значению 1/2, так как , .

Метод Чезаро даёт то же значение, так как s2n= 1, s2n+l = 0, s2n = (n + 1)/(2n + 1), s2n+1 = 1/2, .

Методы Чезаро и Абеля — Пуассона применяются в теории тригонометрических рядов для нахождения функции по её ряду Фурье, так как ряд Фурье любой непрерывной функции суммируется к этой функции методом Чезаро первого порядка, а тем самым и методом Абеля — Пуассона. В 1901 Г. Ф. Вороной предложил метод Суммирование, частными случаями которого являются все методы Чезаро. Пусть pn³ 0, p0= 0, ; обобщённой суммой ряда, по Вороному, называется предел .

Метод Вороного регулярен, если .

В 1911 немецкий математик О. Теплиц нашёл необходимые и достаточные условия, которым должна удовлетворять треугольная матрица ||атn|| (где атn = 0 при n > m) для того, чтобы метод Суммирование, определяемый формулой , был регулярен. Польский математик Х. Штейнхауз обобщил эти условия на случай квадратных матриц.

  В теории аналитических функций важную роль играет метод суммирования Бореля, позволяющий аналитически продолжить функцию, заданную степенным рядом, за границу круга сходимости. Важный метод Суммирование тригонометрических рядов был предложен Суммирование Н. Бернштейном и немецким математиком В. Рогозинским. Бернштейн использовал этот метод для получения сходящихся интерполяционных процессов.

  Теория Суммирование расходящихся интегралов аналогична теории Суммирование расходящихся рядов. Например, если интеграл

расходится и существует предел ,

то говорят, что первый интеграл суммируем к А методом Чезаро порядка l.

 

  Лит.: Харди Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 1951; Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., [2 изд.], т. 1—2, М., 1965; Титчмарт Е., Введение в теорию интегралов Фурье, пер. с англ., М.— Л., 1948; Вари Н. К., Тригонометрические ряды, М., 1961.

Так же Вы можете узнать о...


Шибарган, город на С. Афганистана, в оазисе.
Эскадрон (франц. escadron), 1) тактическое подразделение регулярной кавалерии, состоявшее обычно из 2—4 взводов; в казачьей коннице ему соответствовала сотня.
Акте Эмми Шарлотта Акте (Achté, урожденная Стрёмер — Stromer) Эмми Шарлотта (14.
Архангельский Александр Андреевич [11(23).10.
Белоостров, посёлок городского типа в Ленинградской области РСФСР, на Карельском перешейке.
Бруцеллез, мальтийская лихорадка, болезнь Банга, общее острое или хронически протекающее инфекционно-аллергическое заболевание человека и животных.
Виктория (остров Канадского Арктич. архипелага) Виктория (Victoria), один из наиболее крупных островов Канадского Арктического архипелага.
Гальберг Самуил Иванович Гальберг Самуил (Фридрих) Иванович [2(13).12.
Гонт (польск. gont), деревянный кровельный материал в виде дощечек, имеющих клинообразное сечение.
Демченко Мария Софроновна [р. 26.8(8.9).1912, с.
Евразийская раса, см. Европеоидная раса.
Ивано-Франковск (до 1962 — Станислав), город, центр ой области УССР.