Характеристическое уравнение в математике,

  1) Характеристическое уравнение матрицы — алгебраическое уравнение вида ;

определитель, стоящий в левой части Характеристическое уравнение, получается из определителя матрицыА = ||a_ik||ⁿ₁ вычитанием величины l из диагональных элементов. Этот определитель представляет собой многочлен относительно Х — характеристический многочлен. В раскрытом виде Характеристическое уравнение записывается так: ,

где S₁ = a₁₁ + a₂₂ +... a_nn — т. н. след матрицы, S₂ — сумма всех главных миноров 2-го порядка, т. е. миноров вида  (i < k) и т.д., а S_n — определитель матрицы А. Корни Характеристическое уравнение l₁, l₂,..., l_n называются собственными значениями матрицы А. У действительной симметричной матрицы, а также у эрмитовой матрицы все l_kдействительны, у действительной кососимметричной матрицы все l_k чисто мнимые числа; в случае действительной ортогональной матрицы, а также унитарной матрицы все |l_k| = 1.

  Характеристическое уравнение встречаются в самых разнообразных областях математики, механики, физики, техники. В астрономии при определении вековых возмущений планет также приходят к Характеристическое уравнение; отсюда и второе название для Характеристическое уравнение — вековое уравнение.

  2) Характеристическое уравнение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами a₀ly ⁽ⁿ⁾ + a₁y ^(n-1) +... + a_n-1y' + a_ny = 0

— алгебраическое уравнение, которое получается из данного дифференциального уравнения после замены функции у и её производных соответствующими степенями величины l, т. е. уравнение a₀lⁿ + a₁l^n-1+... +a_n-1y' + a_ny = 0.

К этому уравнению приходят при отыскании частного решения вида у = се^lх для данного дифференциального уравнения. Для системы линейных дифференциальных уравнений  _,,

  Характеристическое уравнение записывается при помощи определителя

  Характеристическое уравнение матрицы A = , составленной из коэффициентов уравнений данной системы.