Якоби многочлены, специальная система многочленов последовательно возрастающих степеней. Для n = 0,1,2...

  Якоби многочлены Pn ^(a,b)(х) могут быть определены формулой:

 

Якоби многочлены ортогональны на отрезке [—1,1] относительно веса (1—х)^a (1 + х)^b (см. Ортогональные многочлены). Введены К. Якоби (опубликовано в 1859). Частными случаями Якоби многочлены являются многочлены Лежандра (при a = b = 0), многочлены Чебышева первого рода (при a = b = —¹/₂) и второго рода (при a = b = ¹/₂), ультрасферические многочлены (при a = b). В свою очередь Якоби многочлены являются частным случаем гипергеометрической функции. Дифференциальное уравнение для у =Pn ^(a,b)(х):

  .