Бернулли числаБольшая Советская Энциклопедия. Статьи для написания рефератов, курсовых работ, научные статьи, биографии, очерки, аннотации, описания.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Бернулли числа, специальная последовательность рациональных чисел, фигурирующая в различных вопросах математического анализа и теории чисел. Значения первых шести Бернулли числа: B1 = 1/6, B2 = 1/30, B3 = 1/42, B4 = 1/30, B5 = 5/66, B6 = 691/2730. В математическом анализе Бернулли числа появляются как коэффициенты разложения некоторых элементарных функций в степенные ряды. Например: К числу важнейших формул, в которых встречаются Бернулли числа, относится формула суммирования Эйлера — Маклорена (см. Конечных разностей исчисление). Через Бернулли числа выражаются суммы многих рядов и значения несобственных интегралов. Бернулли числа впервые появились в посмертной работе Я. Бернулли (1713) в связи с вычислением суммы одинаковых степеней натуральных чисел. Он доказал, что Для Бернулли числа известны рекуррентные формулы, позволяющие последовательно вычислять эти числа, а также явные формулы (имеющие довольно сложный вид). Большой интерес представляют теоретико-числовые свойства Бернулли числа Немецкий математик Э. Куммер в 1850 установил, что уравнение Ферма xp + ур = zp не решается в целых числах х, у, z, отличных от нуля, если простое число р > 2 не делит числителей Бернулли числа B1, B2,...B (p 3)/2. Нередко для обозначения Бернулли числа вместо Bm пишут (-1) m 1B2m (m = 1, 2...); кроме того, полагают B0 = 1, B1 = 1/2, B3 = B5 = B7 =... = 0.
Лит.: Чистяков И. И., Бернуллиевые числа, М., 1895; Кудрявцев В. А., Суммирование степеней чисел натурального ряда и числа Бернулли, М.—Л., 1936; Уиттекер Э.-Т. и Ватсон Д.-Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 1, М., 1963; Landau Е., Vorlesungen über Zahlentheorie, Bd 3, N. Y., 1927. С. Б. Стечкин. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|