Простое число, целое положительное число, большее, чем единица, не имеющее других делителей, кроме самого себя и единицы: 2, 3, 5, 7, 11, 13,... Понятие Простое число является основным при изучении делимости натуральных (целых положительных) чисел; именно, основная теорема теории делимости устанавливает, что всякое целое положительное число, кроме 1, единственным образом разлагается в произведении Простое число (порядок сомножителей при этом не принимается во внимание). Простое число бесконечно много (это предложение было известно ещё древнегреческим математикам, его доказательство имеется в 9-й книге «Начал» Евклида). Вопросы делимости натуральных чисел, а следовательно, вопросы, связанные с Простое число, имеют важное значение при изучении групп; в частности, строение группы с конечным числом элементов тесно связано с тем, каким образом это число элементов (порядок группы) разлагается на простые множители. В теории алгебраических чисел рассматриваются вопросы делимости целых алгебраических чисел; понятия Простое число оказалось недостаточным для построения теории делимости — это привело к созданию понятия идеала. П. Г. Л. Дирихле в 1837 установил, что в арифметической прогрессии а + bx при х = 1, 2,... с целыми взаимно простыми а и b содержится бесконечно много Простое число

  Выяснение распределения Простое число в натуральном ряде чисел является весьма трудной задачей чисел теории. Она ставится как изучение асимптотического поведения функции p(х), обозначающей число Простое число, не превосходящих положительного числа х. Первые результаты в этом направлении принадлежат П. Л. Чебышеву, который в 1850 доказал, что имеются такие две такие постоянные а и А, что  < p(x) < при любых x³ 2 [т. е., что p(х) растет, как функция ]. Хронологически следующим значительным результатом, уточняющим теорему Чебышева, является т. н. асимптотический закон распределения Простое число (Ж. Адамар, 1896, Ш. Ла Валле Пуссен, 1896), заключающийся в том, что предел отношения p(х) к  равен 1.

  В дальнейшем значительные усилия математиков направлялись на уточнение асимптотического закона распределения Простое число Вопросы распределения Простое число изучаются и элементарными методами, и методами математического анализа. Особенно плодотворным является метод, основанный на использовании тождества

(произведение распространяется на все Простое число р = 2, 3,...), впервые указанного Л. Эйлером; это тождество справедливо при всех комплексных s с вещественной частью, большей единицы. На основании этого тождества вопросы распределения Простое число приводятся к изучению специальной функции — дзета-функцииx(s), определяемой при Res > 1 рядом

Эта функция использовалась в вопросах распределения Простое число при вещественных s Чебышевым; Б. Риман указал на важность изучения x(s) при комплексных значениях s. Риман высказал гипотезу о том, что все корни уравнения x(s) = 0, лежащие в правой полуплоскости, имеют вещественную часть, равную ¹/₂. Эта гипотеза до настоящего времени (1975) не доказана; её доказательство дало бы весьма много в решении вопроса о распределении Простое число Вопросы распределения Простое число тесно связаны с Гольдбаха проблемой, с не решенной ещё проблемой «близнецов» и другими проблемами аналитической теории чисел. Проблема «близнецов» состоит в том, чтобы узнать, конечно или бесконечно число Простое число, разнящихся на 2 (таких, например, как 11 и 13). Таблицы Простое число, лежащих в пределах первых 11 млн. натуральных чисел, показывают наличие весьма больших «близнецов» (например, 10006427 и 10006429), однако это не является доказательством бесконечности их числа. За пределами составленных таблиц известны отдельные Простое число, допускающие простое арифметическое выражение [например, установлено (1965), что 2¹¹²¹³ —1 есть Простое число; в нём 3376 цифр].

 

  Лит.: Виноградов И. М., Основы теории чисел, 8 изд., М., 1972; Хассе Г., Лекции по теории чисел, пер. с нем., М., 1953; Ингам А. Е., Распределение простых чисел, пер. с англ., М. — Л., 1936; Прахар К., Распределение простых чисел, пер. с нем., М., 1967; Трост Э., Простые числа, пер, с нем., М., 1959.