Теория тяготения Ньютона

Первые высказывания о Тяготение как всеобщем свойстве тел относятся к античности. Так, Плутарх писал: «Луна упала бы на Землю как камень, чуть только уничтожилась бы сила её полёта».

  В 16 и 17 вв. в Европе возродились попытки доказательства существования взаимного тяготения тел. Основатель теоретической астрономии И. Кеплер говорил, что «тяжесть есть взаимное стремление всех тел». Итальянский физик Дж. Борелли пытался при помощи Тяготение объяснить движение спутников Юпитера вокруг планеты. Однако научное доказательство существования всемирного Тяготение и математическая формулировка описывающего его закона стали возможны только на основе открытых И. Ньютоном законов механики. Окончательная формулировка закона всемирного Тяготение была сделана Ньютоном в вышедшем в 1687 главном его труде «Математические начала натуральной философии». Ньютона закон тяготения гласит, что две любые материальные частицы с массами m_А и m_В притягиваются по направлению друг к другу с силой F, прямо пропорциональной произведению масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния r между ними:

   (1)

(под материальными частицами здесь понимаются любые тела при условии, что их линейные размеры много меньше расстояния между ними; см. Материальная точка). Коэффициент пропорциональности G называется постоянной тяготения Ньютона, или гравитационной постоянной. Численное значение G было определено впервые английским физиком Г. Кавендишем (1798), измерившим в лаборатории силы притяжения между двумя шарами. По современным данным, G = (6,673 ± 0,003)×10^-8см³/г×сек².

Следует подчеркнуть, что сама форма закона Тяготение (1) (пропорциональность силы массам и обратная пропорциональность квадрату расстояния) проверена с гораздо большей точностью, чем точность определения коэффициента G. Согласно закону (1), сила Тяготение зависит только от положения частиц в данный момент времени, то есть гравитационное взаимодействие распространяется мгновенно. Другой важной особенностью закона тяготения Ньютона является тот факт, что сила Тяготение, с которой данное тело А притягивает другое тело В, пропорциональна массе тела В. Но так как ускорение, которое получает тело В, согласно второму закону механики, обратно пропорционально его массе, то ускорение, испытываемое телом В под влиянием притяжения тела А, не зависит от масса тела В. Это ускорение носит название ускорения свободного падения. (Более подробно значение этого факта обсуждается ниже.)

  Для того чтобы вычислить силу Тяготение, действующую на данную частицу со стороны многих др. частиц (или от непрерывного распределения вещества в некоторой области пространства), надо векторно сложить силы, действующие со стороны каждой частицы (проинтегрировать в случае непрерывного распределения вещества). Таким образом, в ньютоновской теории Тяготение справедлив принцип суперпозиции. Ньютон теоретически доказал, что сила Тяготение между двумя шарами конечных размеров со сферически симметричным распределением вещества выражается также формулой (1), где m_А и m_В — полные массы шаров, а r — расстояние между их центрами.

  При произвольном распределении вещества сила Тяготение, действующая в данной точке на пробную частицу, может быть выражена как произведение массы этой частицы на вектор g, называемый напряжённостью поля Тяготение в данной точке. Чем больше величина (модуль) вектора g, тем сильнее поле Тяготение

  Из закона Ньютона следует, что поле Тяготение — потенциальное поле, то есть его напряжённость g может быть выражена как градиент некоторой скалярной величины j, называемым гравитационным потенциалом:

  g = —grad j. (2)

  Так, потенциал поля Тяготение частицы массы m может быть записан в виде:

  . (3)

  Если задано произвольное распределение плотности вещества в пространстве, r = r(r), то теория потенциала позволяет вычислить гравитационный потенциал j этого распределения, а следовательно, и напряжённость гравитационного поля g во всём пространстве. Потенциал j определяется как решение Пуассона уравнения.

Dj = 4pGr, (4)

  где D — Лапласа оператор.

Гравитационный потенциал какого-либо тела или системы тел может быть записан в виде суммы потенциалов частичек, слагающих тело или систему (принцип суперпозиции), то есть в виде интеграла от выражений (3):

    (4a)

  Интегрирование производится по всей массе тела (или системы тел), r — расстояние элемента массы dm от точки, в которой вычисляется потенциал. Выражение (4a) является решением уравнения Пуассона (4). Потенциал изолированного тела или системы тел определяется, вообще говоря, неоднозначно. Так, например, к потенциалу можно прибавлять произвольную константу. Если потребовать, чтобы вдали от тела или системы, на бесконечности, потенциал равнялся нулю, то потенциал определяется решением уравнения Пуассона однозначно в виде (4a).

  Ньютоновская теория Тяготение и ньютоновская механика явились величайшим достижением естествознания. Они позволяют описать с большой точностью обширный круг явлений, в том числе движение естественных и искусственных тел в Солнечной системе, движения в др. системах небесных тел: в двойных звёздах, в звёздных скоплениях, в галактиках. На основе теории тяготения Ньютона было предсказано существование неизвестной ранее планеты Нептун и спутника Сириуса и сделаны многие др. предсказания, впоследствии блестяще подтвердившиеся. В современной астрономии закон тяготения Ньютона является фундаментом, на основе которого вычисляются движения и строение небесных тел, их эволюция, определяются массы небесных тел. Точное определение гравитационного поля Земли позволяет установить распределение масс под её поверхностью (гравиметрическая разведка) и, следовательно, непосредственно решать важные прикладные задачи. Однако в некоторых случаях, когда поля Тяготение становятся достаточно сильными, а скорости движения тел в этих полях не малы по сравнению со скоростью света, Тяготение уже не может быть описано законом Ньютона.

Необходимость обобщения закона тяготения Ньютона Теория Ньютона предполагает мгновенное распространение Тяготение и уже поэтому не может быть согласована со специальной теорией относительности (см. Относительности теория), утверждающей, что никакое взаимодействие не может распространяться со скоростью, превышающей скорость света в вакууме. Нетрудно найти условия, ограничивающие применимость ньютоновской теории Тяготение Так как эта теория не согласуется со специальной теорией относительности, то её нельзя применять в тех случаях, когда гравитационные поля настолько сильны, что разгоняют движущиеся в них тела до скорости порядка скорости света с. Скорость, до которой разгоняется тело, свободно падающее из бесконечности (предполагается, что там оно имело пренебрежимо малую скорость) до некоторой точки, равна по порядку величины корню квадратному из модуля гравитационного потенциала j в этой точке (на бесконечности j считается равным нулю). Таком образом, теорию Ньютона можно применять только в том случае, если

  |j| << c². (5)

  В полях Тяготение обычных небесных тел это условие выполняется: так, на поверхности Солнца |j|/c²» 4×10^-6, а на поверхности белых карликов — порядка 10^-3.

  Кроме того, ньютоновская теория неприменима и к расчёту движения частиц даже в слабом поле Тяготение, удовлетворяющем условию (5), если частицы, пролетающие вблизи массивных тел, уже вдали от этих тел имели скорость, сравнимую со скоростью света. В частности, теория Ньютона неприменима для расчёта траектории света в поле Тяготение Наконец, теория Ньютона неприменима при расчётах переменного поля Тяготение, создаваемого движущимися телами (например, двойными звёздами) на расстояниях r > l = сt, где t — характерное время движения в системе (например, период обращения в системе двойной звезды). Действительно, согласно ньютоновской теории, поле Тяготение на любом расстоянии от системы определяется формулой (4a), то есть положением масс в тот же момент времени, в который определяется поле. Это означает, что при движении тел в системе изменения гравитационного поля, связанные с перемещением тел, мгновенно передаются на любое расстояние r. Но, согласно специальной теории относительности, изменение поля, происходящее за время t, не может распространяться со скоростью, большей с.

Обобщение теории Тяготение на основе специальной теории относительности было сделано А. Эйнштейном в 1915—16. Новая теория была названа её творцом общей теорией относительности.

Принцип эквивалентности Самой важной особенностью поля Тяготение, известной в ньютоновской теории и положенной Эйнштейном в основу его новой теории, является то, что Тяготение совершенно одинаково действует на разные тела, сообщая им одинаковые ускорения независимо от их массы, химического состава и др. свойств. Так, на поверхности Земли все тела падают под влиянием её поля Тяготение с одинаковым ускорением — ускорением свободного падения. Этот факт был установлен опытным путём ещё Г. Галилеем и может быть сформулирован как принцип строгой пропорциональности гравитационной, или тяжёлой, массы m_T, определяющей взаимодействие тела с полем Тяготение и входящей в закон (1), и инертной массы m_И, определяющей сопротивление тела действующей на него силе и входящей во второй закон механики Ньютона (см. Ньютона законы механики). Действительно, уравнение движения тела в поле Тяготение записывается в виде:

  m_Иа = F = m_Tg, (6)

  где а — ускорение, приобретаемое телом под действием напряжённости гравитационного поля g. Если m_И пропорциональна m_Ти коэффициент пропорциональности одинаков для любых тел, то можно выбрать единицы измерения так, что этот коэффициент станет равен единице, m_И = m_Т; тогда они сокращаются в уравнении (6), и ускорение а не зависит от массы и равно напряжённости g поля Тяготение, а = g, в согласии с законом Галилея. (О современном опытном подтверждении этого фундаментального факта см. ниже.)

  Таким образом, тела разной массы и природы движутся в заданном поле Тяготение совершенно одинаково, если их начальные скорости были одинаковыми. Этот факт показывает глубокую аналогию между движением тел в поле Тяготение и движением тел в отсутствие Тяготение, но относительно ускоренной системы отсчёта. Так, в отсутствие Тяготение тела разной массы движутся по инерции прямолинейно и равномерно. Если наблюдать эти тела, например, из кабины космического корабля, который движется вне полей Тяготение с постоянным ускорением за счёт работы двигателя, то, естественно, по отношению к кабине все тела будут двигаться с постоянным ускорением, равным по величине и противоположным по направлению ускорению корабля. Движение тел будет таким же, как падение с одинаковым ускорением в постоянном однородном поле Тяготение Силы инерции, действующие в космическом корабле, летящем с ускорением, равным ускорению свободного падения на поверхности Земли, неотличимы от сил гравитации, действующих в истинном поле Тяготение в корабле, стоящем на поверхности Земли. Следовательно, силы инерции в ускоренной системе отсчёта (связанной с космическим кораблём) эквивалентны гравитационному полю. Этот факт выражается принципом эквивалентности Эйнштейна. Согласно этому принципу, можно осуществить и процедуру обратную описанной выше имитации поля Тяготение ускоренной системой отсчёта, а именно, можно «уничтожить» в данной точке истинное гравитационное поле введением системы отсчёта, движущейся с ускорением свободного падения. Действительно, хорошо известно, что в кабине космического корабля, свободно (с выключенными двигателями) движущегося вокруг Земли в её поле Тяготение, наступает состояние невесомости — не проявляются силы тяготения. Эйнштейн предположил, что не только механическое движение, но и вообще все физические процессы в истинном поле Тяготение, с одной стороны, и в ускоренной системе в отсутствие Тяготение, с другой стороны, протекают по одинаковым законам. Этот принцип получил название «сильного принципа эквивалентности» в отличие от «слабого принципа эквивалентности», относящегося только к законам механики.

Тяготение, гравитация, гравитационное взаимодействие, универсальное взаимодействие между любыми видами материи. Если это взаимодействие относительно слабое и тела движутся медленно (по сравнению со скоростью света), то справедлив закон всемирного тяготения Ньютона. В общем случае Т. описывается созданной А. Эйнштейном общей теорией относительности. Эта теория описывает Т. как воздействие материи на свойства пространства и времени; в свою очередь, эти свойства пространства-времени влияют на движение тел и др. физические процессы. Таким образом, современная теория Т. резко отличается от теории других видов взаимодействия — электромагнитного, сильного и слабого.

Теория тяготения Ньютона
Основная идея теории тяготения Эйнштейна
Уравнения тяготения Эйнштейна
Некоторые выводы теории тяготения Эйнштейна
Квантовые эффекты. Ограничения применимости теории тяготения Эйнштейна
Экспериментальная проверка теории Эйнштейна