Двойственности принцип

Большая Советская Энциклопедия. Статьи для написания рефератов, курсовых работ, научные статьи, биографии, очерки, аннотации, описания.


А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я 1 2 3 4 8 A L M P S T X
ДА ДВ ДД ДЕ ДЁ ДЖ ДЗ ДИ ДЛ ДМ ДН ДО ДП ДР ДУ ДХ ДЫ ДЬ ДЭ ДЮ ДЯ
ДВА
ДВЕ
ДВИ
ДВО
ДВУ

Двойственности принцип, принцип, формулируемый в некоторых разделах математики и заключающийся в том, что каждому верному утверждению этого раздела отвечает двойственное утверждение, которое может быть получено из первого путём замены входящих в него понятий на другие, т. н. двойственные им понятия.

Рисунки 1 (слева) и 2 (справа) к ст. Двойственности принцип. Двойственности принцип.

Рисунки 1 (слева) и 2 (справа) к ст. Двойственности принцип.

  1) Двойственности принцип формулируется в проективной геометрии на плоскости. При этом двойственными понятиями являются, например, «точка» и «прямая», «точка лежит на прямой» и «прямая проходит через точку». Каждой аксиоме в проективной геометрии на плоскости формулируется двойственное предложение, которое может быть доказано с помощью этих же аксиом (этим обосновывается Двойственности принцип в проективной геометрии на плоскости). Двойственными утверждениями в проективной геометрии на плоскости являются известные теоремы Паскаля и Брианшона. Первая из этих теорем утверждает, что во всяком шестивершиннике, вписанном в линию 2-го порядка, точки пересечения противоположных сторон лежат на одной прямой (рис. 1). Вторая теорема утверждает, что во всяком шестистороннике, описанном около линии 2-го порядка, прямые, соединяющие противоположные вершины, пересекаются в одной точке (рис. 2).

  2) Двойственности принцип в абстрактной теории множеств. Пусть дано множество М. Рассмотрим систему всех его подмножеств А, В, С и т.д. Справедливо следующее предложение: если верна теорема о подмножествах множества М, которая формулируется лишь в терминах операций суммы, пересечения и дополнения, то верна также и теорема, получающаяся на данной путём замены операции суммы и пересечения соответственно операциями пересечения и суммы, пустого множества L — всем множеством М, а множества М — пустым множеством L. При этом дополнение суммы заменяется пересечением дополнений, а дополнение пересечения — суммой дополнений.

  Пример 1. Верному соотношению (A È В)Ç С = (A Ç С) È (ВÇ С)

двойственно соотношение (также верное) (АÇ B) È C = (A È С) Ç (В È С)

Пример 2. Верному соотношению (AÈB)È(ĀÇ`B) = M

двойственно соотношение (также верное) (ĀÇ `B)Ç(АÈ В) = L ,

где Ā, `Bдополнения множеств А, В во множестве М, АÇВ— сумма множеств А и В, A ÇВ— их пересечение.

  3) Двойственности принцип имеет место в математической логике (в исчислении высказываний и в исчислении предикатов).

  4) О топологических законах двойственности см. Топология.

 

  Лит.: Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 4 изд., М., 1961; Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М. — Л., 1948; Гильберт Д. и Аккерман В., Основы теоретической логики, пер. с нем., М., 1947.

 

Так же Вы можете узнать о...


Маран Рене Маран (Maran) Рене (8.11.1887, Фор-де-Франс, остров Мартиника, — 9.
Месопотамия (греч. Mesopotamia, от mesos — средний, находящийся между, в середине и potamos — река), Междуречье, Двуречье, природная область в Западной Азии, в бассейне рр.
Монетное дело, изготовление (чеканка) монет.
Намакваленд (Namaqualand), плоскогорье на юго-западе Юж.
Нищенствующие ордена, католические монашеские ордена, члены которых должны были давать обет бедности и нестяжательства.
Октябрьский (пос. гор. типа в Костромской обл.) Октябрьский, посёлок городского типа в Мантуровском районе Костромской области РСФСР.
Падишах (от древнеперсидского Пати — властитель, господин и перс.
Перкин Уильям Генри (младший) Перкин (Perkin) Уильям Генри (младший) (17.6.
Подписка о явке, в СССР письменное обязательство обвиняемого являться по вызовам лица, производящего дознание, следователя, прокурора, суда, а также сообщать о перемене своего места жительства.
Прерываний система в ЦВМ, аппаратные и программные средства, обеспечивающие временное прекращение выполнения последовательности команд для перехода к выполнению др.