Дзета-функция, 1) аналитическая функция комплексного переменного s =s+ it, определяемая при s> 1 формулой  

Эту функцию для действительных s ввёл в математический анализ Л. Эйлер (1737), а для комплексных s впервые изучал немецкий математик Б. Риман (1859), поэтому её часто называют дзета-функцией Римана. После трудов Л. Эйлера (1748, 1749), П. Л. Чебышева (1848) и Б. Римана выяснилась глубокая связь между свойствами Дзета-функция и свойствами простых чисел.

  Эйлер вычислил значения x(2s) для любого натурального s. В частности  

Далее он вывел тождество (тождество Эйлера)  

где произведение распространяется на все простые числа р = 2, 3, 5,...

  Первостепенное значение для теории простых чисел имеет распределение нулей Дзета-функция Известно, что Дзета-функция имеет нули в точках s = —2n, где n = 1, 2, ... (эти нули принято называть тривиальными) и что все остальные (так называемые нетривиальные) нули Дзета-функция находятся в полосе 0 < s < 1, называемой критической полосой. Риман высказал предположение, что все нетривиальные нули Дзета-функция расположены на прямой s = ¹/₂. Эта гипотеза Римана до сих пор не доказана и не опровергнута. Важные результаты о распределении нулей Дзета-функция получены при помощи созданного советским математиком И. М. Виноградовым нового метода в аналитической теории чисел.

 

  Лит.: Эйлер Л., Введение в анализ бесконечных, пер. с латин., 2 изд., т. 1, М., 1961; Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М., 1963; Титчмарш Е. К., Дзета-функция Римана, пер. с англ., М., 1947; Ингам А. Е., Распределение простых чисел, пер. с англ., М. — Л., 1936; Янке Е., Эмде Ф., Таблицы функций с формулами и кривыми, пер. с нем., М. — Л., 1948; Прахар К., Распределение простых чисел, пер. с нем., М., 1967.

 

  2) В теории эллиптических функций встречается Дзета-функция Вейерштрасса  

где Ã(u) — эллиптическая функция Вейерштрасса. Эту Дзета-функция не следует смешивать с Дзета-функция Римана.