Дробно-линейная функция, функция вида  

т. е. частное двух линейных функций. Дробно-линейная функция — простейшая среди рациональных функций. При ad — bc = 0 она сводится к тождественной постоянной; если ad — bc¹ 0, но с = 0, то Дробно-линейная функция сводится к целой линейной функции у = aх + b. Т. о., интерес представляет лишь случай, когда ad — bc¹ 0 и с¹ 0; графиком Дробно-линейная функция, когда х принимает действительные значения, является равнобочная гипербола.

  Если х принимает произвольные комплексные значения (а, b, с и d — фиксированные комплексные числа), то Дробно-линейная функция осуществляет взаимно однозначное и конформное отображение комплексной плоскости (пополненной точкой ¥) на себя, называемое дробно-линейным отображением (это единственная аналитическая функция, обладающая указанным свойством). Дробно-линейная функция характеризуется также тем, что она переводит прямые и окружности, лежащие в комплексной плоскости, снова в прямые и окружности. Всякое конформное отображение внутренности круга на себя осуществляется при помощи Дробно-линейная функция Двойное отношение четырёх точек  

является инвариантом Дробно-линейная функция Иными словами, если Дробно-линейная функция переводит x₁ в y₁, x₂ в y₂, x₃ в у₃ и x₄ в y₄, то    

  Лит.: Маркушевич А. И., Краткий курс теории аналитических функций, 3 изд., М., 1966; Привалов И. И., Введение в теорию функций комплексного переменного, 11 изд., М., 1967.

  С. Б. Стечкин.