Лежандра многочлены, сферические многочлены, специальная система многочленов последовательно возрастающих степеней. Впервые рассматривалась А. Лежандром и П. Лапласом (в 1782—85) независимо друг от друга. Для n = 0,1,2,... Лежандра многочлены Р (х) могут быть определены формулой:

  ,

  в частности:

  , , ,

  ,

  ,

   

  и т.д. Все нули многочлена P_n (x) — действительные и лежат в основном промежутке [—1, +1], перемежаясь с нулями многочлена P_n+i (x). Лежандра многочлены — ортогональные многочлены с весом 1 на отрезке [—1, +1,]; они образуют полную систему, чем обусловливается возможность разложения в ряд по Лежандра многочлены произвольной функции f (x), интегрируемой на отрезке [—1, +1]:

  ,

  где .

  Характер сходимости рядов по Лежандра многочлены примерно тот же, что и рядов Фурье.

  Явное выражение для Лежандра многочлены:

  .

  Производящая функция:

 

  (Лежандра многочлены — коэффициенты при n-й степени в разложении этой функции по степеням t). Рекуррентная формула:

  nP_n (x) + (n 1) P_n-2(x) (2n 1) xP_n-1(x) = 0.

Дифференциальное уравнение для Лежандра многочлены

 

  возникает при разделении переменных в уравнении Лапласа в сферических координатах. См. также Сферические функции.

 

  Лит.: Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф., Специальные функции. Формулы, графики, таблицы, пер. с нем., 2 изд., М., 1968; Лебедев Н. Н., Специальные функции и их приложения, 2 изд., М. — Л., 1963.

  В. Н. Битюцков.