Периодические решения уравнений, решения, описывающие правильно повторяющиеся процессы. Для теории колебаний, небесной механики и др. наук особый интерес представляют Периодические решения системы дифференциальных уравнений

Рис. к ст. Периодические решения.

  , i = 1,..., n (1)

  Это такие решения y_i = j_i (t), которые состоят из периодических одного и того же периода функций независимого переменного t, то есть для всех значений t

j_i (t + t) = j_i (t)

где t > 0—период решения. Если система (1) стационарна, то есть функции f_i = F_i (y_i,.... y_n), где i = 1,..., n, явным образом не зависят от t, то в фазовом пространстве (y_i,..., y_i) Периодические решения отвечают замкнутые траектории. В частном случае эти траектории могут вырождаться в точки покоя , где , которым соответствуют тривиальные (постоянные) Периодические решения Что касается нетривиальных Периодические решения, то задача о нахождении их решена лишь для дифференциальных уравнений специальных типов.

  В теории нелинейных колебаний особое значение имеет система двух уравнений

  ,  (2)

фазовым пространством которой является плоскость (х, у). Точки покоя системы (2) находятся из системы уравнений: Р (х, у) = 0, Q (x, у) = 0. Система (2) заведомо не допускает нетривиальных Периодические решения, если  (критерий Бендиксона). Обычным приёмом обнаружения нетривиальных Периодические решения системы (2) (если они существуют) является построение такой ограниченной кольцеобразной области K (см. рис.), что все траектории входят в неё при t ® +¥ или при t ® -¥; если область К не содержит точек покоя системы (2), то в К обязательно найдётся замкнутая траектория, которой соответствует нетривиальное Периодические решения (принцип Пуанкаре — Бендиксона). Другой подход к обнаружению Периодические решения даёт изучение поведения решений в окрестностях особых точек; именно, в окрестности центра интегральные кривые системы (2) замкнуты и им соответствуют нетривиальные Периодические решения

 

  Лит.: Немыцкий В. В. и Степанов В. В., Качественная теория дифференциальных уравнений, 2 изд., М.— Л., 1949; Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э., Теория колебаний, 2 изд., М., 1959; Стокер Дж., Нелинейные колебания в механических и электрических системах, пер. с англ., 2 изд., М., 1953.