Эйлеровы интегралы, интегралы вида  (1)

  (Эйлеровы интегралы первого рода, или бета-функция, изученная Л. Эйлером в 1730—31, ранее рассматривалась И. Ньютоном и Дж. Валлисом) и  (2)

  [Э. и. второго рода, или гамма-функция, рассмотренная Л. Эйлером в 1729—30 в форме, эквивалентной формуле (2); сама формула (2) встречается у Эйлера в 1781]; название «Эйлеровы интегралы» дано А. Лежандром. Эйлеровы интегралы позволяют обобщить на случай непрерывно изменяющихся аргументов биномиальные коэффициенты  и факториал n!, ибо, если а и b— натуральные числа, то , Г (а +1) = а!

Интегралы (1) и (2) абсолютно сходятся, если а и b положительны, и перестают существовать, если а и b отрицательны. Имеют место соотношения В (a, b) = B (b, a), ;

последнее сводит бета-функцию к гамма-функции. Существует ряд соотношений между Эйлеровы интегралы при различных значениях аргумента, обобщающих соответствующие соотношения между биномиальными коэффициентами. Эйлеровы интегралы можно рассматривать и при комплексных значениях аргументов а и b. Эйлеровы интегралы встречаются во многих вопросах теории специальных функций, к ним сводятся многие определённые интегралы, не выражаемые элементарно. Эйлеровы интегралы называется также интеграл

выражающий т. н.гипергеометрическую функцию.

 

  Лит.: Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 2, М., 1969; Артин Е., Введение в теорию гамма-функций, пер. с нем., М.— Л., 1934; Уиттекер Е. Т., Ватсон Д. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М., 1963.