Бесконечное произведениеБольшая Советская Энциклопедия. Статьи для написания рефератов, курсовых работ, научные статьи, биографии, очерки, аннотации, описания.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Бесконечное произведение, произведение бесконечного числа сомножителей u1, u2,..., un,..., т. е. выражение вида Бесконечное произведение, в котором сомножителями являются числа, иногда называемые бесконечным числовым произведением. Бесконечное произведение не всегда может быть приписано числовое значение. Если существует отличный от нуля предел последовательности частичных произведений pn = u1 u2... un при n®¥, то Бесконечное произведение называется сходящимся, a lim pn = р — его значением, и пишут: Исторически Бесконечное произведение впервые встретились в связи с задачей о вычислении числа p. Так, французский математик Ф. Виет (16 в.) получил формулу: а английский математик Дж. Валлис (17 в.) — формулу: Особое значение Бесконечное произведение приобрели после работ Л. Эйлера, применившего Бесконечное произведение для изображения функций. Примером может служить разложение синуса: Разложения функций в Бесконечное произведение аналогичны разложениям многочленов на линейные множители; они замечательны тем, что выявляют все значения независимого переменного, при которых функция обращается в нуль. Для сходимости Бесконечное произведение необходимо и достаточно, чтобы un¹ 0 для всех номеров n, чтобы uN > 0, начиная с некоторого номера N, и чтобы сходился ряд Т. о., исследование сходимости Бесконечное произведение эквивалентно исследованию сходимости этого ряда.
Лит.: Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 2, М.— Л., 1966; Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, М., 1965. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|