Предел, одно из основных понятий математики. Предел — постоянная, к которой неограниченно приближается некоторая переменная величина, зависящая от другой переменной величины, при определённом изменении последней. Простейшим является понятие Предел числовой последовательности, с помощью которого могут быть определены понятия Предел функции, Предел последовательности точек пространства, Предел интегральных сумм.

Предел последовательности. Пусть задана последовательность действительных чисел x_n, n = 1, 2,... Число а называется пределом этой последовательности, если для любого числа e > 0 существует такой номер n_e, что для всех номеров n ³ n_e выполняется неравенство |x_n — a| < e. В этом случае пишется

(lim — первые буквы латинского слова limes), или x_n® a при n ®¥.

  Если последовательность имеет Предел, то говорят, что она сходится. Так, последовательность 1/n, n = 1, 2,..., сходится и имеет своим Предел число 0. Не всякая последовательность имеет Предел, например последовательность 1, —1, 1,..., (—1) ⁿ⁺¹,... не имеет Предел Последовательность, не имеющая Предел, называется расходящейся. На геометрическом языке существование у последовательности Предел, равного а, означает, что каждая окрестность точки а содержит все члены данной последовательности, за исключением, быть может, их конечного числа.

  Для Предел последовательностей имеют место формулы  (c постоянная)

  Эти формулы справедливы в предположении, что Предел, стоящие в их правых частях, существуют, причём в формуле для Предел частного x_n/y_n надо ещё дополнительно потребовать, чтобы .   Если x_n £y_n и последовательности x_n и y_n, n = 1, 2,... сходятся, то

т. е. при предельных переходах нестрогие неравенства сохраняются (но из x_n < y_nне вытекает , например, 1/n > 0, n = 1, 2,... однако ). Если  и x_n£z_n£y_n, то последовательность z_n, n = 1, 2,..., сходится к тому же Предел:

  Последовательность a_n, n = 1, 2,..., сходящаяся к нулю, называется бесконечно малой. Последовательность сходится к какому-либо числу тогда и только тогда, когда разность между членами последовательности и этим числом является бесконечно малой последовательностью (т. о., общее понятие Предел последовательности сводится к понятию бесконечно малой). Так, например, последовательность ¹/₂, ²/₃, ³/₄,...,n/(n + 1),... имеет своим Предел единицу, поскольку разность 1 — n/(n + 1) = 1/(n + 1), n = 1, 2,... является бесконечно малой последовательностью.

  Всякая возрастающая (убывающая) последовательность, ограниченная сверху (соответственно снизу), сходится. Например, если для заданного числа а обозначить через a_n приближённое значение его корня  (k — натуральное число) с n десятичными знаками после запятой, вычисленное с недостатком, то a_n£a_n+1£, n = 1, 2, …, поэтому последовательность a_n, сходится, причём из неравенства 0 £ a_n£ 10^-n следует, что . Др. примером возрастающей ограниченной сверху последовательности является последовательность длин периметров правильных многоугольников, вписанных в данную окружность, к длине которой сходится эта последовательность.

  Для того чтобы сходилась произвольная последовательность x_n, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла критерию Коши: для любого числа e > 0 существует такой номер N_e, что для всех номеров m ³N_e и n³N_eвыполняется неравенство |x_n — x_m| < e.

  Если последовательность x_n, n = 1, 2,..., такова, что для числа e > 0 существует такой номер n_e, что для всех номеров n³n_e выполняется неравенство |x_n| > e, то последовательность x_n, называется бесконечно большой и пишется

  Если же при этом для любого e > 0 существует такой номер n_e, что x_n> e (соответственно x_n< -e) для всех n³n_e, то пишется (соответственно )

Эти Предел называются бесконечными. Например, . В случае же последовательности n², n = 1, 2, …,, можно написать не только  но и более точное равенство . Само собой разумеется, что бесконечно большие последовательности не являются сходящимися в смысле данного выше определения этого понятия. На бесконечные Предел переносятся далеко не все свойства конечных Предел Например, последовательности x_n = n и y_n = — n бесконечно большие, а последовательность x_n+ y_n,, n = 1, 2,..., ограниченная и к тому же расходящаяся.

Частичные пределы. Верхний и нижний пределы. Предел (конечный и бесконечный) какой-либо подпоследовательности называется частичным пределом последней. Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность (теорема Больцано — Вейерштрасса), а из всякой неограниченной — бесконечно большую. В множестве всех частичных Предел последовательности всегда имеется как наибольший, так и наименьший (конечный или бесконечный). Наибольший (соответственно наименьший) частичный Предел последовательности x_n, n = 1, 2,..., называют её верхним (соответственно нижним) пределом и обозначается  (соответственно ). Например,

  Последовательность имеет конечный или бесконечный Предел тогда и только тогда, когда её верхний Предел совпадает с нижним, при этом их общее значение и является её Предел Конечный верхний Предел последовательности можно также определить как такое число а, что при любом e > 0 существует бесконечно много членов последовательности, больших, чем а — e, и лишь не более, чем конечное число членов, больших, чем a + e.

Предел функции. Пусть функция f, принимающая действительные значения, определена в некоторой окрестности точки x₀, кроме, быть может, самой точки x₀. Функция f имеет Предел в точке x₀, если для любой последовательности точек x_n, n = 1, 2,..., x_n¹x₀, стремящейся к точке x₀, последовательность значений функции f (x_n) сходится к одному и тому же числу А, которое и называется пределом функции f в точке x₀, (или при x® x₀) при этом пишется

или f (x) ®A при x ® x₀

В силу этого определения на Предел функций переносятся свойства Предел суммы, произведения и частного последовательностей, а также сохранение неравенств при предельном переходе.

  Определение Предел функции можно сформулировать и не прибегая к понятию Предел последовательности: число А называется пределом функции f в точке x₀, если для любого числа e > 0 существует такое число d > 0, что для всех точек х ¹ x₀, удовлетворяющих условию ½х — x₀½ < d, x ¹ x₀, выполняется неравенство ½f (x) — A½ < e.

  Все основные элементарные функции: постоянные, степенная функция х^a, показательная функция a^x, тригонометрические функции sinx, cosx, tgx и ctgx и обратные тригонометрические функции arcsinx, arccosx, arctgx и arcctgx во всех внутренних точках своих областей определения имеют Предел, совпадающие с их значениями в этих точках. Но это не всегда бывает так. Функция ,

являющаяся суммой бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем q = 1/(1 + x²), 0 < q < 1, в точке х = 0 имеет Предел, равный 1, ибо f (x) = 1 + x²при x¹ 0. Этот Предел не совпадает со значением функции f в нуле: f (0) = 0. Функция же , x¹ 0,

вовсе не имеет Предел при х ® 0, ибо уже для значений x_n = 1/(p/2 + pn) последовательность соответствующих значений функции f (x_n) = (-1) ⁿ не имеет Предел

  Если Предел функции при х®х₀ равен нулю, то она называется бесконечно малой при х®х₀. Например, функция sinx бесконечно мала при х® 0. Для того чтобы функция f имела при х®х₀ Предел, равный А, необходимо и достаточно, чтобы f (x) = A + a(x), где a(х) является бесконечно малой при х®х₀

Если при определении Предел функции f в точке x₀ рассматриваются только точки х, лежащие левее (правее) точки x₀, то получающийся Предел называется пределом слева (справа) и обозначается  (соответственно ).

Функция имеет Предел в некоторой точке, если её Предел слева в этой точке равен её Предел справа. Понятие Предел функции обобщается и на случай, когда аргумент стремится к бесконечности: , ,

  Например,

означает, что для любого e > 0 существует такое d > 0, что для всех х, удовлетворяющих условию x > d, выполняется неравенство ½f (x) А½ < e.

  Примером функций, всегда имеющих Предел, являются монотонные функции. Так, если функция f определена на интервале (а, b) и не убывает, то в каждой точке х, а < х < b, она имеет конечный Предел как слева, так и справа; в точке в Предел справа, который конечен тогда и только тогда, когда функция f ограничена снизу, а в точке b Предел слева, конечный в том и только в том случае, когда функция ограничена сверху. В общем же случае стремление к Предел может носить разный, необязательно монотонный характер. Например, функция f (x) = x при х® 0 стремится к нулю, бесконечное число раз переходя от возрастания к убыванию и обратно.

  Т. н. внутренний критерий (критерий Коши) существования Предел функции в точке состоит в следующем: функция f имеет в точке x₀ Предел в том и только в том случае, если для любого e > 0 существует такое d > 0, что для всех точек х' и х'', удовлетворяющих условию ½х’ x₀½ < d, ½x'' — x₀½ < d, x'  ¹ x₀, x'’¹ x₀, выполняется неравенство ½f (x'' ) — f (x')½ < e.

  Для функций, как и для последовательностей, определяются понятия бесконечных Предел вида , ,  и т.д.; в этих случаях функция f  называется бесконечно большой при х®х₀, При х®х₀+ 0 или При х® +¥ соответственно и т.д. Например,

означает, что для любого e > 0 существует такое d > 0, что для всех х, удовлетворяющих условию х < -d, выполняется неравенство f (x) > e.

Расширение понятия предела функции. Если функция f определена на некотором множестве Е числовой прямой и точка x₀ такова, что в любой её окрестности имеются точки множества Е, то аналогично данному выше определению Предел функции, заданной в некоторой окрестности точки x₀, кроме, быть может, самой точки x₀, определяется понятие предела функции по множеству Е ,

для этого следует лишь в определении Предел всегда дополнительно требовать, чтобы точка х принадлежала множеству Е: х ÎЕ.  Предел последовательности x_n, n = 1, 2,..., является при таком определении понятия Предел частным случаем Предел функции по множеству, а именно функции f, определённой на множестве натуральных чисел n формулой f (n) = x_n, n = 1, 2,....

  Функция, равная нулю при рациональных х и единице при иррациональных, не имеет Предел при х® 0, однако по множеству рациональных чисел она при х® 0 имеет Предел, равный нулю. Понятие Предел числовой функции по множеству переносится и на функции многих переменных. В этом случае можно говорить, в частности, о Предел в данном направлении, о Предел по данной кривой, по данной поверхности и т.д. Кроме того, для функций многих переменных возникает понятие повторного предела, когда предельный переход совершается последовательно по разным переменным, например . Распространяется понятие Предел и на функции, которые могут принимать не только действительные, но и комплексные значения.

Предел интегральных сумм. Ещё одно важное понятие Предел возникает при определении интеграла. Пусть, например, функция f определена на отрезке [a, b]. Совокупность {x_i} таких точек x_i, что

  a = x₀ < x₁<... < x_i<... < x_n-1< x_n = b,

наз. разбиением отрезка [a, b]. Пусть x_i-1£x_I  < x_i, Dx_i  =  x_i x_i-1,i = 1, 2,..., n. Тогда сумма f (x₁)Dx₁ + f (x₂)Dx₂ +... + f (x_n)Dx_n называется интегральной суммой функции f. Число А является пределом интегральных сумм и называется определённым интегралом: ,

если для любого e > 0 существует такое d > 0, что каково бы ни было разбиение {xi} отрезка [a, b], для которого Dx_i  < d, и каковы бы ни были точки x_i, x_i-1 £x_I £ x_i, i = 1, 2,..., n, выполняется неравенство ½f (x₁)Dx₁+ f (x₂)Dx₂+... + f (x_n)Dx_n A| < e.

  Понятие Предел интегральных сумм может быть введено и с помощью Предел последовательности.

Обобщения понятия предела. Ввиду разнообразия употребляемых в математике специальных видов понятия Предел естественно возникло стремление включить их как частный случай в то или иное общее понятие Предел Например, можно ввести понятие Предел, обобщающее как понятие Предел функции, так и понятие Предел интегральных сумм. Система S непустых подмножеств некоторого множества Е называется направлением, если для каждых двух подмножеств А и В этой системы выполняется одно из включений А ÌВ или B ÌA и пересечение всех множеств из S пусто. Пусть на множестве Е задана числовая функция f. Число а называется пределом функции f по направлению S, если для любого e > 0 существует такое множество А из S, что во всех его точках выполняется неравенство |f (x) — а| < e. При определении Предел функции f в точке x₀ за направление следует взять совокупность всех окрестностей этой точки с достаточно малыми радиусами за вычетом самой точки х₀. При определении Предел интегральных сумм функции f, заданной на отрезке [а, b], следует рассмотреть множество Е, элементами которого являются всевозможные разбиения отрезка [а, b] с выбранными в них точками x_i. Подмножества E_h множества Е, отвечающие разбиениям, длины Dx_i, отрезков которых не превышают h, образуют направление. Предел интегральных сумм (которые, очевидно, являются функциями, определёнными на множестве Е) по указанному направлению является интеграл.

  Понятие Предел обобщается на более широкие классы функций, например на функции, заданные на частично упорядоченных множествах, или на функции, являющиеся отображениями одного пространства (метрического или, более общо, топологического) на другое. Наиболее полно задача определения Предел решается в топологии и означает в общем случае, что некоторый объект, обозначенный f (x), меняющийся при изменений др. объекта, обозначенного через х, при достаточно близком приближении объекта х к объекту х₀ сколь угодно близко приближается к объекту А. Основным в такого рода понятиях Предел является понятие близости объектов х и x₀, f (x) и А, которые нуждаются в математическом определении. Только после того как это будет сделано, высказанному определению Предел можно будет придать чёткий смысл и оно станет содержательным. Различные понятия близости и изучаются, в частности, в топологии.

  Встречаются, однако, понятия Предел др. природы, не связанные с топологией, например понятие Предел последовательности множеств. Последовательность множеств A_n, n = 1, 2,..., называется сходящейся, если существует такое множество А, называемое её пределом, что каждая его точка принадлежит всем множествам A_n, начиная с некоторого номера, и каждая точка из объединения всех множеств A_n, не принадлежащая A, принадлежит лишь конечному числу A_n.

Историческая справка. К понятию Предел вплотную подошли ещё древнегреческие учёные при вычислении площадей и объёмов некоторых фигур и тел с помощью исчерпывания метода. Так, Архимед, рассматривая последовательности вписанных и описанных ступенчатых фигур и тел, с помощью метода исчерпывания доказывал, что разность между их площадями (соответственно объёмами) может быть сделана меньше любой наперёд заданной положительной величины. Включая в себя представление о бесконечно малых, метод исчерпывания являлся зародышем теории Предел Однако в явном виде в древнегреческой математике понятие Предел не было сформулировано, не было создано и каких-либо основ общей теории.

  Новый этап в развитии понятия Предел наступил в эпоху создания дифференциального и интегрального исчислений. Г. Галилей, И. Кеплер, Б. Кавальери, Б. Паскаль и др. широко используют при вычислении площадей и объёмов «неделимых» метод, метод актуальных бесконечно малых, т. е. таких бесконечно малых, которые, по их представлению, являются неизменными величинами, не равными нулю и вместе с тем меньшими по абсолютной величине любых положительных конечных величин. Продолжает в этот период применяться и развиваться и метод исчерпывания (Григорий из Сен-Винцента, Предел Гульдин, Х. Гюйгенс и др.). На основе интуитивного понятия Предел появляются попытки создать общую теорию Предел Так, И. Ньютон первый отдел первой книги («О движении тел») своего труда «Математические начала натуральной философии» посвящает своеобразной теории Предел под названием «Метод первых и последних отношений», которую он берёт за основу своего флюксий исчисления. В этой теории Ньютон взамен актуальных бесконечно малых предлагает концепцию «потенциальной» бесконечно малой, которая лишь в процессе своего изменения становится по абсолютной величине меньше любой положит, конечной величины. Точка зрения Ньютона была существенным шагом вперёд в развитии представления о Предел Понятие Предел, намечавшееся у математиков 17 в., в 18 в. постепенно всё больше анализировалось (Л. Эйлер, Ж. Д'Аламбер, Л. Карно, братья Бернулли и др.) и уточнялось. В этот период оно служило лишь для попыток объяснить правильность дифференциального и интегрального исчисления и ещё не являлось методом разработки проблем математического анализа.

  Современная теория Предел начала формироваться в начале 19 в. в связи с изучением свойств различных классов функций, прежде всего непрерывных, а также в связи с попыткой доказательства существования ряда основных объектов математического анализа (интегралов функций действительных и комплексных переменных, сумм рядов, алгебраических корней и более общих уравнений и т.п.). Впервые в работах О. Коши понятие Предел стало основой построения математического анализа. Им были получены основные признаки существования Предел последовательностей, основные теоремы о Предел и. что очень важно, дан внутренний критерий сходимости последовательности, носящий теперь его имя. Наконец, он определил интеграл как Предел интегральных сумм и изучил его свойства, исходя из этого определения. Окончательно понятие Предел последовательности и функции оформилось на базе теории действительного числа в работах Б. Больцано и К. Вейерштрасса. Из дальнейших обобщений понятия Предел следует отметить понятия Предел, данные в работах С. О. Шатуновского (опубликовано в 1923), американских математиков Э. Г. Мура и Г. Л. Смита (1922) и французского математика А. Картана (1937).

 

  Лит.: Александров Предел С., Введение в общую теорию множеств и функций, М. — Л., 1948; Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., т. 1—2, М., 1971—73; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т. 1—2, М., 1970; Никольский С. М., Курс математического анализа, т. 1—2, М., 1973; Смирнов В. И., Курс высшей математики, 22 изд., т. 1, М., 1967.

  Л. Д. Кудрявцев.