Гаусса формулы, формулы, относящиеся к различным разделам математики и носящие имя К. Гаусса.

1) Квадратурные Гаусса формулы — формулы вида  

  в которых узлы x_kи коэффициенты A_k не зависят от функции f (x) и выбраны так, что формула точна (т. е. R_n = 0) для произвольного многочлена степени 2n 1. В отличие от квадратурных формул Ньютона — Котеса, узлы в квадратурных Гаусса формулы, вообще говоря, не являются равноотстоящими. Если р (х) ³ 0 и  

  то для любого натурального n имеется единственная квадратурная Гаусса формулы Эти формулы имеют большое практическое значение, т.к. в ряде случаев они дают значительно большую точность, чем квадратурные формулы с тем же числом равноотстоящих узлов. Сам Гаусс исследовал (1816) случай р (х) º 1.

  2) Гаусса формулы, выражающая полную кривизну К поверхности через коэффициенты её линейного элемента; в координатах, для которых ds² = l(du² + dv²), Гаусса формулы имеет вид  

  Эта формула была опубликована в 1827 и показывает, что полная кривизна не меняется при изгибании поверхности. Она составляет содержание одного из основных предложений созданной Гауссом внутренней геометрии поверхности.

  3) Гаусса формулы для сумм Гаусса:  

  Эта формула была использована Гауссом (1801) в одном из доказательств закона взаимности квадратичных вычетов  

  где р и q — нечётные простые числа, а  — Лежандра символ. Она явилась первым примером применения метода тригонометрических сумм в теории чисел. Этот метод был развит далее в работах Г. Вейля и особенно И. М. Виноградова и представляет собой один из наиболее мощных методов аналитической теории чисел.

  4) Гаусса формулы для суммы гипергеометрического ряда. Если Re (c b a) > 0, то  

  где Г (х) — гамма-функция. Опубликована в 1812.

  С. Б. Стечкин.